Циркуляция и ротор векторного поля. Теорема Стокса в векторной форме

Пусть в некоторой области задано векторное поле

.

Пусть далее - кривая, лежащая в области .

Интеграл называется линейныминтегралом поля по кривой . Этот интеграл иногда обозначают так: .

Если кривая - замкнутая, то такой интеграл называется циркуляцией поля вдоль кривой

Если поле -силовое поле, то линейный интеграл выражает работу сил поля при перемещении точки единичной массы по кривой .

Пусть в области задана гладкая двусторонняя поверхность , ограниченная замкнутым контуром . Тогда, используя формулу Стокса и формулу перехода от поверхностного интеграла второго рода к интегралу первого рода, можно вычислить циркуляцию так:

.(2.15)

Последний интеграл равен потоку векторного поля, которая называется ротором или вихрем поля и обозначается символом

. (2.16)

Тогда равенство (2.15) можно записать в виде

. (2.17)

Таким образом, теорему Стокса можно сформулировать в векторной форме.

Циркуляция поля вдоль замкнутого контура равна потоку ротора этого поля через поверхность ,ограниченную контуром . При этом сторона поверхности и направление обхода должны соответствовать друг другу.

Пример 2.9. Вычислить, используя теорему Стокса, циркуляцию поля по линии пересечения плоскости скоординатными плоскостями. Точки - точки пересечения плоскости с осями соответственно.

Решение. Вычислим сначала частные производные, участвующие в определении ротора (2.16).

Тогда , и, значит, . Используя формулу Стокса (2.17), получаем

. (2.18)

Рис.8.6

В качестве поверхности берем плоскость . Заметим, что заданному направлению обхода контура соответствует нормаль, образующая острыйугол с осью ,т.е. . Перейдем от поверхностного интеграла в равенстве (2.18) к двойному, проектируя поверхность на плоскость (проекция на рис. 2.6 заштрихована). Так как , то заменим на . Вычислим двойной интеграл:

Примечание. Вычисление ротора векторного поля

Ротор векторного поля (2.16) удобно вычислять, используя формулу

. (2.19)

Этот определитель вычисляется по обычным правилам вычисления определителей, только формальное умножение любого из символов на надо понимать, как взятие частной производной.

Пример 2.10. Вычислить ротор векторного поля .

Решение. Воспользуемся формулой (8.19). Вычислять определитель будем, раскладывая его по первой строке,