![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть в некоторой области задано векторное поле
.
Пусть далее - кривая, лежащая в области
.
Интеграл называется линейныминтегралом поля
по кривой
. Этот интеграл иногда обозначают так:
.
Если кривая - замкнутая, то такой интеграл называется циркуляцией поля
вдоль кривой
Если поле -силовое поле, то линейный интеграл выражает работу сил поля при перемещении точки единичной массы по кривой
.
Пусть в области задана гладкая двусторонняя поверхность
, ограниченная замкнутым контуром
. Тогда, используя формулу Стокса и формулу перехода от поверхностного интеграла второго рода к интегралу первого рода, можно вычислить циркуляцию
так:
.(2.15)
Последний интеграл равен потоку векторного поля, которая называется ротором или вихрем поля и обозначается символом
. (2.16)
Тогда равенство (2.15) можно записать в виде
. (2.17)
Таким образом, теорему Стокса можно сформулировать в векторной форме.
Циркуляция поля вдоль замкнутого контура
равна потоку ротора этого поля через поверхность
,ограниченную контуром
. При этом сторона поверхности и направление обхода должны соответствовать друг другу.
Пример 2.9. Вычислить, используя теорему Стокса, циркуляцию поля
по линии
пересечения плоскости
скоординатными плоскостями. Точки
- точки пересечения плоскости с осями
соответственно.
Решение. Вычислим сначала частные производные, участвующие в определении ротора (2.16).
Тогда , и, значит,
. Используя формулу Стокса (2.17), получаем
. (2.18)
|
Примечание. Вычисление ротора векторного поля
Ротор векторного поля (2.16) удобно вычислять, используя формулу
. (2.19)
Этот определитель вычисляется по обычным правилам вычисления определителей, только формальное умножение любого из символов на
надо понимать, как взятие частной производной.
Пример 2.10. Вычислить ротор векторного поля .
Решение. Воспользуемся формулой (8.19). Вычислять определитель будем, раскладывая его по первой строке,
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 2124 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!