Определение потока векторного поля

Потоком векторного поля через двустороннюю поверхность в выбранную сторону называется поверхностный интеграл

, (2.9)

где - проекция поля на единичнуюнормаль к поверхности , направление которой соответствует выбранной стороне поверхности, т.е. .

Так как - нормаль единичная, то , где - углы, образованные вектором с осями соответственно. Тогда , и, следовательно,

. (2.10)

Если поверхность задается уравнением , то направляющие косинусы нормали вычисляются по формулам

, ,

. (2.11)

Знаки перед радикалами выбираются так, чтобы направление нормали соответствовало выбранной стороне поверхности.

Пример 2.7. Вычислить поток векторного поля через часть плоскости , лежащую в первом октанте, в направлении нормали, образующей острый угол с осью (рис. 2.5).

Решение. Спроектируем поверхность на плоскость и перейдем в интеграле (2.10) от поверхностного к двойному. При этом , а направляющие косинусы заменяем по формулам (2.11), причем перед радикалами выбираем знак "+", так как в условии задачи сказано, что образует с осью острый угол и, значит, . Таким образом,

, (2.12)

где - проекция на плоскость , т.е. треугольник ; - координаты векторного поля , причем переменная заменена на из уравнения поверхности, т.е. .

Выразим из уравнения плоскости и вычислим и :

Подставляя в формулу (2.12), получаем

.

Последний интеграл представляет собой площадь треугольника и, следовательно,