Потенциальное векторное поле

Векторное поле называется потенциальным, если существует скалярное поле , для которого служит градиентом, т.е.

.

Напомним, что это равенство означает, что

. (2.20)

Это скалярное поле называется потенциалом (потенциальной функцией, скалярным потенциалом) поля . Примерами потенциальных полей могут служить электрическое поле точечного заряда, поле тяготения, магнитное поле, созданное прямолинейным проводником, по которому течет постоянный электрический ток.

Необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля:

чтобы поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке ротор равнялся нулю, т.е.

(2.21)

Поэтому потенциальное векторное поле называют также безвихревым.

Основные свойства потенциального поля:

1. Циркуляция потенциального поля по любому кусочно-гладкому замкнутому контуру равна нулю.

2. Линейный интеграл от потенциального поля по кусочно-гладкому пути не зависит от пути.

Потенциал поля можно найти по формулам

(2.22)

или

(2.23)

где - некоторая фиксированная точка в рассматриваемой области, - произвольная постоянная.

Пример 2.11. Показать, что поле потенциально во всем пространстве и найти его потенциал.

Решение. Вычислим , используя формулу (2.19):

,

т.е. поле потенциально во всем пространстве. Для нахождения потенциала воспользуемся формулой (2.23), а в качестве точки возьмем начало координат.