Производная по направлению

Производная по направлению

Важной характеристикой скалярного поля является величина, показывающая, как быстро меняется поле в данном направлении.

Пусть задано скалярное поле Возьмем точку и единичный вектор (координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам). На линии действия вектора в направлении этого вектора возьмем точку .

Если при стремлении точки к точке так, что точка остается на линии действия вектора , существует конечный предел отношения то этот предел называется производной скалярного поля или функции в точке по направлению вектора и обозначается

Итак,

(2.3)

Производную по направлению можно вычислить по формуле:

(2.4)

Производная по направлению в плоском скалярном поле также вычисляется по формуле (2.4), в которой надо положить то есть отбросить последнее слагаемое.

Пример 2.3. Найти производную функции в точке в направлении вектора если

Решение. Найдем сначала единичный вектор , задающий направление, по которому надо определить производную. Для этого находим вектор или

Тогда

Отсюда

Далее находим частные производные функции

Вычисляем значения их в точке

Записав формулу (2.4) в виде

имеем