Решение. Задачу решим МПС матричным способом

Задачу решим МПС матричным способом. В этом случае целесообразно использовать программируемую вычислительную технику. Решим задачу в среде MathCAD.

1. Назначаем в качестве переменных состояния ток в индуктивности и напряжение на конденсаторе – i ₃ (t) и u_C(t). Выходная переменная – ток i ₁ (t).

2. Независимые начальные условия нулевые:

i ₃ ( 0₊ ) = i ₃ ( 0_- ) = 0, u_C( 0₊ ) = u_C( 0_- ) = 0.

3. Составим систему уравнений состояния, используя законы Кирхгофа:

L = u_L = u_C – r ₂× i ₃; i ₁ = ; С = i ₂ = i ₁ – i ₃ = – i ₃.

Таким образом, система уравнений состояния имеет вид:

= - i ₃ + u_C,

= - i ₃ – u_C + u.

Эта же система в матричном виде: = [ K ] ´ [ X ] + [ L ] ´ [ F ]. (*)

Итак, матрица переменных состояния [ X ], матрица коэффициентов [ K ], столбцовая матрица свободных членов [ L ] ´ [ F ] и матрица независимых начальных условий [ X (0) ] имеют вид:

[ X ] = , [ K ] = , [ L ] ´ [ F ] = , [ X (0) ] = = .

Решение системы уравнений состояния:

X (t) = e ^{K t} · Ф (t), где Ф (t) = · L ´ F (q) · dq, то есть

X (t) = e ^{K t} · L ´ F (q) · dq + e ^{K t} · L ´ F (q) · dq =

= e ^{K t} · X ( 0 ) + e ^{K t} · L ´ F (q) · dq. (**)

4. Получим матричную экспоненциальную функцию e ^{K t}.

Сначала определим собственные значения l матрицы [ K ], то есть корни уравнения det( [ K ] – l · 1) = 0, где 1 = Е – единичная матрица порядка K:

= 0.

В данном случае характеристическое уравнение: = 0.

При двух корнях характеристического уравнения матричная экспонента находится в виде e ^{K t} = a ₀ Е + a ₁ [ K ],

где коэффициенты a_i находят из следующей системы уравнений:

a ₀ + l ₁ a ₁ = e^{l 1· t} , a ₀ = e^{l 1· t} + e^{l 2· t} ,

a ₀ + l ₂ a ₁ = e^{l 2· t} . a ₁ = e^{l 1· t} + e^{l 2· t} .

5. Далее переменные состояния можно найти по формуле (**), а выходную переменную i ₁ (t) по формуле i ₁ = .

6. Ниже приводится программа расчётов в среде MathCAD с построенными графиками i ₁ (t) и i ₃ (t).

j:= ORIGIN:= 1 U:= 100 r1:= 60 r2:= 40 L:= 0.1 C:= 10^-4

E:= x0:= K:= LF(q):=

|K - l·E| .1667e6 + 566.7·l + l²

|K - l·E| = 0

Перезадание корней характеристического уравнения l:=

a0(t):= · + · a1(t):= · + ·

eK(t):= a0(t)·E + a1(t)·K i3(t):= (eK(t)·x0)₁ +

uC(t):= (eK(t)·x0)₂ + i1(t):=

Примечание. Ответы для коэффициентов a ₀, a ₁, искомых токов i ₁ (t) и i ₃ (t) (то же наблюдается и в отношении матричной экспоненты e ^{K t}) содержат комплексные числа. Это объясняется комплексностью корней характеристического уравнения. Однако, благодаря тому, что корни являются комплексными сопряжёнными числами, значения указанных величин в любой момент времени оказываются действительными, в связи с чем возможно построение графиков токов. Приведение же ответов для токов к стандартному виду с затухающей синусоидой требует дополнительных действий. В этом состоит недостаток данного метода. Графики искомых токов показаны на рис. 7.65.

ЗАДАЧА 7.44. Построить график напряжения на конденса-торе u_C(t) схемы рис. 7.66, при условии r ₁ = 60 Ом, L ₁= 0,2 Гн, r ₂ = 40 Ом, L ₂= 0,1 Гн, C = 100 мкФ, u = 100 В.

Комментарии и ответы.

Задачу 7.44 решим по той же самой методике, что и задачу 7.43.

Исходные данные: j:= ORIGIN:= 1

U:= 100 r1:= 60 r2:= 40 L:= 0.1 C:= 10^-4

Переменные состояния: i ₁, i ₂, u_C. Независимые начальные условия:

i ₁ ( 0₊ ) = i ₁ ( 0_- ) = 0, i ₂ ( 0₊ ) = i ₂ ( 0_- ) = 0, u_C( 0₊ ) = u_C( 0_- ) = u = 100 В x0:=

Система уравнений состояния: = - i ₁ – u_C + u,

= - i ₂ + u_C,

= i ₁ – i ₂.

E:= K:= LF(q):=

|K - l·E| (-.2700e6)·l – 700·l² –.5000е8 – 1.·l³

|K - l·E| = 0

Перезадание корней характеристического уравнения l:=

Коэффициенты a_i находят из следующей системы уравнений:

a ₀ + l ₁ a ₁ + l ₁² a ₂ = e^{l 1· t},

a ₀ + l ₂ a ₁ + l ₂² a ₂ = e^{l 2· t},

a ₀ + l ₃ a ₁ + l ₃² a ₂ = e^{l 3· t}.

D:=

a0(t):= · + · + ·

a1(t):= · + · + ·

a2(t):= · + · + ·

Ответ, например, для коэффициента a0(t):

В случае трёх корней характеристического уравнения матричная экспонента находится в виде e ^{K t} = a ₀ Е + a ₁ [ K ] + a ₂ [ K ] ²,

eK(t):= a0(t)·E + a1(t)·K + a2(t)·K²

uC(t):= (eK(t)·x0)₃ +

Попробуем получить ответ для u_C(t):

По данной формуле MathCAD отказывается давать значения напряже-ния в отдельные моменты времени. Поэтому произведём перезадание u_C(t):

Значение напряжения, например, в момент времени t = 0,01 с:

Примечание. Как и в задаче 7.43 значения a ₀, a ₁, e ^{K t} и, конечно же, u_C должны быть в любой момент времени действительными числами. Здесь же значение u_C (0,01) оказалось комплексным. Это объясняется тем, что при перезадании корней характеристического уравнения l_i было сделано округление ответов до четырёх значащих цифр, что внесло в последующие вычисления некоторую погрешность. Например, у значений напряжения на конденсаторе появилась мнимая часть. Однако она мала и ей можно пренебречь. Можно утверждать, что реальное значение напряжения на конденсаторе практически равно модулю от полученного комплексного значения. В связи с этим строим график модуля напряжения u_C в функции времени t (рис.7.67).