Решение. Задачу решаем методом неопределённых начальных условий

Задачу решаем методом неопределённых начальных условий. Момент начала отсчёта времени выберем совпадающим с началом действия одного произвольно взятого импульса. Независимое начальное условие ненулевое: u_С( 0₊ ) = u_С( 0_- ) ¹ 0.

На интервале времени 0 £ t £ t u_С(t) = u_Спр + u_Ссв(t) = 60 + А × e ^{–1667 t} В.

Постоянная интегрирования А = u_Ссв( 0 ) = u_С( 0 ) – u_Спр = u_С( 0 ) – 60.

Таким образом, u_С(t) = 60 + (u_С( 0 ) – 60 ) × e ^{–1667 t} В.

В момент окончания действия рассматриваемого импульса напряжение на конденсаторе достигает величины

u_С(t) = 60 + (u_С( 0 ) – 60 ) × e ^–1 = 37,93 + 0,368 u_С( 0 ).

Закон изменения напряжения на конденсаторе при t £ t £ 2 t (с учётом отсутствия воздействия на входе цепи)

u_С(t) = u_С(t) × e ^р(t-t) = ( 37,93 + 0,368 u_С( 0 )) × e ^{–1667 ( t- 0,0006 )} В.

К моменту подачи следующего импульса искомое напряжение принимает значение

u_С( 2 t) = ( 37,93 + 0,368 u_С( 0 )) × e ^–1 = 13,95 + 0,135 u_С( 0 ).

Учтём, что в цепи после прохождения достаточного большого числа импульсов устанавливается так называемый квазиустановившийся режим, когда процессы в цепи повторяются с периодом поступающих импульсов. Таким образом, получаем уравнение u_С( 2 t) = u_С( 0 ) или

13,95 + 0,135 u_С( 0 ) = u_С( 0 ).

Его решение u_С( 0 ) = = 16,13 В.

Окончательно для напряжения на конденсаторе получаем:

u_С(t) =

Ток в ветви с конденсатором

i ₃ (t) = С =

Остальные токи:

i ₂ (t) = u_С(t) / r ₂ =

i ₁ (t) = i ₂ (t) + i ₃ (t) =

Графики токов см. на рис. 7.82.

ЗАДАЧА 7.20. В схеме рис. 7.34 ключ работает с периодом Т = 2 t ₂ (t ₁ и t ₂ – постоянные времени цепи при замкнутом и разомкнутом ключе, соответственно). Продолжительность включения составляет ПВ = t_В / Т = 0,6. Параметры цепи: U = 60 В, r ₁ = 20 Ом, r ₂ = 40 Ом, L = 0,6 Гн. Рассчитать ток и напряжение индуктивного элемента.

Ответы: t ₁ = 15 мс; t ₂ = 10 мс;

i_L(t) =

u_L(t) =

ЗАДАЧА 7.21. В схеме рис. 7.35,а источник вырабатывает прямоуголь-ные импульсы длительностью t_И = t с периодом Т = 2 t (рис. 7.35,б). Параметры цепи: I_m = 1 A,

r = 100 Ом, L = 0,1 Гн.

Рассчитать токи в резисторе и индуктивности.

Ответы: t = 1 мс;

i_L(t) =

i_r(t) =

ЗАДАЧА 7.22. От однополупериодного неуправ-ляемого выпрямителя с нулевым диодом (рис. 7.36) питается обмотка возбуждения двигателя постоянного тока. Считая диоды идеальными и коммутацию диодов мгновенной, рассчитать периодическое значение тока возбуждения i(t), если входное напряжение

u_ВХ(t) = 220 sin(wt) В, частота сети f = 50 Гц, r = 5 Ом, L = 0,2 Гн.