Решение. 1. Независимые начальные условия:

1. Независимые начальные условия:

u_C (0₊) = u_C (0_-) = 0; i ₃(0₊) = i ₃(0_-) = = = 2 А.

2. Принуждённые составляющие токов: i _{2 пр} = 0, i _{1 пр} = i _{3 пр} = = = 1 А.

3. Характеристическое уравнение:

+ r + = 0 или 2 LrС × р ² + (L + 3 r ² С)р + 2 r = 0

или 2×0,2×50×40×10 ^-6× р ² + ( 0,2+ 3×50²×40×10 ^-6 )р + 2×50 = 0,

или 0,8×10 ^-3× р ² + 0,5× р + 100 = 0.

Корни характеристического уравнения: р _1,2 = -312,5 ± j 165,4 с ^–1.

4. Вид свободных составляющих:

i _{1 св} (t) = А × е ^{- at} × sin(wt +Y ₁ ), i _{2 св} (t) = В × е ^{- at} × sin(wt +Y ₂ ), i _{3 св} (t) = D × е ^{- at} × sin(wt +Y ₃ ),

где коэффициент затухания a = | Re(р ₁ ) | = 312,5 с ^–1;

угловая частота свободных колебаний w = Im(р ₁ ) = 165,4 рад/с ^–1.

Начальные условия для свободных составляющих:

i _{1 св}( 0 ) = А × sinY ₁, i _{1 св} ¢ ( 0 ) = - a × А × sinY ₁ + w × А × cosY ₁;

i _{2 св}( 0 ) = В × sinY ₂, i _{2 св} ¢ ( 0 ) = - a × В × sinY ₂ + w × B × cosY ₂;

i _{3 св}( 0 ) = D × sinY ₃, i _{3 св} ¢ ( 0 ) = - a × D × sinY ₃ + w × D × cosY ₃.

5. Для определения постоянных интегрирования рассчитаем начальные

условия. С этой целью составим систему уравнений по законам Кирхгофа для нулевого момента времени, причём учтём уравнение связи между током и напряжением на конденсаторе: i ₁ ( 0 ) – i ₂ ( 0 ) – i ₃ ( 0 ) = 0,

r × i ₁ ( 0 ) + r × i ₂ ( 0 ) + u_C( 0 ) = U,

r × i ₁ ( 0 ) + L × i ₃¢ ( 0 ) + r × i ₃ ( 0 ) = U,

i ₂ ( 0 ) = С × u_C ¢ ( 0 ).

Отсюда начальные значения токов: i ₁ ( 0 ) = i ₂ ( 0 ) + 2,

i ₂ ( 0 ) = = = 0; i ₁ ( 0 ) =2 А.

Начальные значения производных: u_C ¢ ( 0 ) = i ₂ ( 0 ) / С = 0;

i ₃¢ ( 0 ) = = = -500 A / с;

i ₁¢ ( 0 ) = - i ₂¢ ( 0 ) = i ₃¢ ( 0 ) /2 = -250 А / с.

Начальные условия для свободных составляющих:

i _{1 св}( 0 ) = i ₁ ( 0 ) – i _{1 пр}( 0 ) = 2 – 1 = 1 А, i _{1 св} ¢ ( 0 ) = i ₁¢ ( 0 ) – i _{1 пр} ¢ ( 0 ) = -250 А / с,

i _{2 св}( 0 ) = i ₂ ( 0 ) – i _{2 пр}( 0 ) = 0, i _{2 св} ¢ ( 0 ) = i ₂¢ ( 0 ) – i _{2 пр} ¢ ( 0 ) = 250 А / с,

i _{3 св}( 0 ) = i ₃ ( 0 ) – i _{3 пр}( 0 ) = 2 – 1 = 1 А, i _{3 св} ¢ ( 0 ) = i ₃¢ ( 0 ) – i _{3 пр} ¢ ( 0 ) = -500 А / с.

Таким образом, получаем и решаем следующие три системы уравнений:

А × sinY ₁ = 1,

-a × А × sinY ₁ + w × А × cosY ₁ = -250;

А × cosY ₁ = = = 0,3779,

А = = = 1,069,

tgY ₁ = = = 2,646, Y ₁ = 69,3°.

В × sinY ₂ = 0, B = 1,511,

-a × B × sinY ₂ + w × B × cosY ₂ = 250; Y ₂ = 0°.

D × sinY ₃ = 1,

-a × D × sinY ₃ + w × D × cosY ₃ = -500;

D × cosY ₃ = = -1,134,

D = = 1,512, tgY ₃ = = -0,882,

но cosY ₃ < 0, поэтому

Y ₃ = 180° + arctg( -0,882 ) = 138,6°.

6. Записываем окончательные выражения для токов в соответствии с классическим методом расчёта:

i ₁ (t) = i _{1 пр}(t) + i _{1 св}(t) = 1 + 1,069× е ^{– 312,5 t} × sin( 165,4 t + 69,3° ) А,

i ₂ (t) = i _{2 пр}(t) + i _{2 св}(t) = 1,511× е ^{– 312,5 t} × sin( 165,4 t) А,

i ₃ (t) = i _{3 пр}(t) + i _{3 св}(t) = 1 + 1,512× е ^{– 312,5 t} × sin( 165,4 t + 138,6° ) А.

7. Построим график тока i ₁ (t) (рис. 7.43). Длительность переходного процесса T_ПП = = с = 12,8 мс.

Период свободных колебаний T ₀ = = = 0,038 с = 38 мс.

ЗАДАЧА 7.25. В схеме рис. 7.44 рас-считать токи переходного процесса класси-ческим методом. Параметры цепи: U = 200 В, r ₁ = r ₂ = 50 Ом, L = 0,1 Гн, С = 40 мкФ.

Ответы: i_L(t) = 2 + 2× е ^{–500 t} sin( 500 t) A;

i_{r 2} (t) = 2 + 2× е ^{–500 t} sin( 500 t – 90° ) A; i_С(t) = 2 × е ^{–500 t} sin( 500 t + 45° ) A.

ЗАДАЧА 7.26. Определить напряжение на ёмкости и ток в цепи рис. 7.45 после размыкания рубильника, если

U = 100 В, r = 200 Ом, L = 1 Гн, С = 100 мкФ.

Ответы: i(t) = 0,5 е ^{–100 t} + 50 t × е ^{–100 t} A;

u_С(t) = 100 – 100 е ^{–100 t} – 5000 t × е ^{–100 t} В.

ЗАДАЧА 7.27. Определить токи переходного процесса в цепи рис. 7.46, если

Е = 100 В, r = 10 Ом, L = 29,4 мГн, С = 100 мкФ.

Ответы: i ₁ = 10 – 19,44× е ^{–500 t} sin( 300 t + 31° ) A;

i ₂ = -11,33× е ^{–500 t} sin( 300 t) A;

i ₃ = 10 – 11,33× е ^{–500 t} sin( 300 t + 62° ) A.

ЗАДАЧА 7.28. В схеме рис. 7.47 определить ток в индуктивности и напряжение на ёмкости, если E = 300 В,

r ₁ = r ₃ = 25 Ом, L = 20 мГн, С = 100 мкФ.

Ответы:

i_L(t) = 12+ 11,06 е ^{-200 t} × sin( 678 t – 32,86° ) А,

u_C(t) = 155,8 е ^{-200 t} × sin( 678 t + 74,27° ) B

ЗАДАЧА 7.29. Определить ток в ёмкости (рис. 7.48), если е(t) = 400 sin( 314 t – 90° ) В,

r ₂ = 50 Ом, r ₃ = 25 Ом, L = 0,25 Гн, С = 400 мкФ.