 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Решение. 1. Независимые начальные условия нулевые: i1(0) = i2(0) = 0. 1. Независимые начальные условия нулевые: i1(0) = i2(0) = 0
|
|
1. Независимые начальные условия нулевые: i 1 ( 0 ) = i 2 ( 0 ) = 0.
2. Принуждённые токи: i 1 пр = Е /0 = ¥, i 2 пр = 0.
3. Система уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного состояния цепи: L 1 
– M 
= Е,
-M + r × i 2 + L 2 = 0.
Алгебраизировав систему уравнений и приравняв её определитель нулю, получим характеристическое уравнение:
D(р) = 
= р 2 L 1 L 2 + рL 1 r – р 2 M 2 = 0.
Корни уравнения: р 1 = 0, р 2 = - 
= - 
= -40 с -1.
4. Свободные составляющие токов имеют вид:
i 1 св (t) = А 1 + А 2× е р 2 ×t; i 2 св (t) = В 1 + В 2× е р 2 ×t.
5. Рассчитаем зависимые начальные условия (значения производных от токов в начальный момент времени), используя составленную в п.3 систему уравнений для момента времени t = 0+:
L 1 i 1¢ ( 0 ) – Mi 2¢ ( 0 ) = Е = 10, или 0,1 i 1¢ ( 0 ) – 0,05 i 2¢ ( 0 ) = 10,
-Mi 1¢ ( 0 ) + L 2 i 2¢ ( 0 ) = 0; -0,05 i 2¢ ( 0 ) + 0,05 i 2¢ ( 0 ) = 0.
Решение системы: i 1¢ ( 0 ) = 200 А / с, i 2¢ ( 0 ) = 200 А / с.
6. Начальные значения свободных токов и их производных:
- с одной стороны, i 1 св ( 0 ) = А 1 + А 2, i 1 св ¢ ( 0 ) = А 2× р 2;
i 2 св ( 0 ) = В 1 + В 2, i 2 св ¢ ( 0 ) = В 2× р 2;
- с другой стороны, i 1 св ( 0 ) = i 1 ( 0 ) – i 1 пр ( 0 ) = -¥,
i 1 св ¢ ( 0 ) = i 1¢ ( 0 ) – i 1 пр ¢ ( 0 ) = 200 А / с,
i 2 св( 0 ) = i 2 ( 0 ) – i 2 пр( 0 ) = 0,
i 2 св ¢ ( 0 ) = i 2¢ ( 0 ) – i 2 пр ¢ ( 0 ) = 200 А / с.
Первую систему уравнений: А 1 + А 2 = -¥, А 1× р 1 + А 2× р 2 = 200
решить не удастся, поэтому решаем вторую систему уравнений:
В 1 + В 2 = 0, В 2× р 2 = 200; В 2 = 
= -5, В 1 = - В 2 = 5.
7. Таким образом, вторичный ток: i 2 (t) = 5 – 5× е –40 t А.
Первичный ток получим из первого уравнения системы, составленной по законам Кирхгофа:
= 
= 
= 100 + 100× е –40 t А / с;
i 1 (t) = 
= 
= 100 t – 2,5× е –40 t – 2,5 А.
Необычное выражение для первичного тока объясняется тем, что резис-тивное сопротивление первичного контура r 1 = 0. Поэтому здесь ( 100 t – 2,5 ) является не принуждённой составляющей, а суммой принуждённой составля-ющей и одной из двух частей свободной составляющей. У вторичного же тока 5 = 5× е –0 t является не принуждённой составляющей, а также одной из двух частей свободной составляющей. Свободная составляющая вторичного тока не убывает до нуля, поскольку первичный ток растёт до бесконечности. Безусловно, данная ситуация на практике может возникнуть лишь приблизительно в течение некоторо-го небольшого промежутка времени.
ЗАДАЧА 7.32. Рассчитать токи переходного процесса в схеме рис. 7.51 со следующими числовыми данными: U = 100 В, r 1 = r 2 = 50 Ом, L 1= 0,1 Гн, L 2= 0,2 Гн, М = 0,05 Гн.
Решение
1. Независимые начальные условия:
i 1 ( 0+ ) = i 1 ( 0- ) = 
= 
= 1 А, i 3 ( 0+ ) = i 3 ( 0- ) = 0.
2. Принуждённые составляющие токов: i 2 пр = 0, i 1 пр = i 3 пр = 
= 
= 2 А.
3. Система уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного состояния цепи: i 1 – i 2 – i 3= 0,
r 1× i 1 + L 1 i 1¢+ Мi 3¢+ L 2 i 3¢+ Мi 1¢ = U,
r 1× i 1 + L 1 i 1¢+ Мi 3¢+ r 2× i 2 = U.
4. Характеристическое уравнение, составленное на основании записанных уравнений по законам Кирхгофа:
D(р) = 
= 0,
р 2 (L 1 L 2 – М 2 ) + р(r 1 L 2 + r 2 L 1 + r 2 L 2 + 2 r 2 М) + r 1 r 2 = 0,
р 2 ( 0,1×0,2 – 0,052 ) + р( 50×0,2 + 50×0,1 + 50×0,2 + 2×50×0,05 ) + 50×50 = 0,
р 2×0,0175+ р ×30 + 2500 = 0,
р 1,2 = -857,1 ± 769,3 с –1; р 1 = -87,8 с –1; р 2 = -1626,4 с –1.
5. Свободные составляющие токов:
i 1 св (t) = А 1× е р 1 t + А 2× е р 2 ×t; i 2 св (t) = В 1× е р 1 t + В 2× е р 2 ×t; i 3 св (t) = D 1× е р 1 t + D 2× е р 2 ×t.
Начальные значения свободных составляющих и их производных:
i 1 св ( 0 ) = А 1 + А 2; i 2 св ( 0 ) = В 1 + В 2; i 3 св ( 0 ) = D 1 + D 2;
i 1 св ¢ ( 0 ) = А 1 р 1 + А 2 р 2; i 2 св ¢ ( 0 ) = В 1 р 1 + В 2 р 2; i 3 св ¢ ( 0 ) = D 1 р 1 + D 2 р 2.
6. Начальные условия получим из ранее составленной системы уравнений для нулевого момента времени: i 2 ( 0 ) = i 1 ( 0 ) – i 3 ( 0 ) = 1 А,
i 1¢ ( 0 ) × (L 1+ М) + i 3¢ ( 0 ) × (L 2+ М) = U – r 1× i 1 ( 0 ), 0,15 i 1¢ ( 0 ) + 0,25 i 3¢ ( 0 ) = 50,
L 1 i 1¢ ( 0 ) + Мi 3¢ ( 0 ) = U – r 1× i 1 ( 0 ) – r 2× i 2 ( 0 ), 0,1 i 1¢ ( 0 ) + 0,05 i 3¢ ( 0 ) = 100 – 50 – 50 = 0.
Решение системы уравнений:
i 1¢ ( 0 ) = -142,9 А/с, i 3¢ ( 0 ) = 285,7 А/с, i 2¢ ( 0 ) = i 1¢ ( 0 ) – i 3¢ ( 0 ) = -428,6 А/с.
Начальные значения свободных составляющих и их производных:
i 1 св( 0 ) = i 1 ( 0 ) – i 1 пр( 0 ) = 1 - 2= -1 А, i 1 св ¢ ( 0 ) = i 1¢ ( 0 ) = -142,9 А/с,
i 2 св( 0 ) = i 2 ( 0 ) – i 2 пр( 0 ) = 1 - 0= 1 А, i 2 св ¢ ( 0 ) = i 2¢ ( 0 ) = -428,6 А/с,
i 3 св( 0 ) = i 3 ( 0 ) – i 3 пр( 0 ) = 0 - 2= -2 А, i 3 св ¢ ( 0 ) = i 3¢ ( 0 ) = 285,7 А/с.
7. Получаем и решаем следующие системы уравнений:
А 1 + А 2 = -1, А 1 р 1 + А 2 р 2 = -142,9 Þ А 1 = -1,150, А 2 = 0,150;
В 1 + В 2 = 1, В 1 р 1 + В 2 р 2 = -428,6 Þ В 1 = 0,778, В 2 = 0,222;
D 1 + D 2 = -2, D 1 р 1 + D 2 р 2 = 285,7 Þ D 1 = -1,928, D 2 = -0,072;
8. Окончательно записываем:
i 1 (t) = i 1 пр(t) + i 1 св(t) = 2 – 1,150× е – 87,8 t +0,150× е – 1626,4 ×t А,
i 2 (t) = i 2 пр(t) + i 2 св(t) = 0,778× е – 87,8 t +0,222× е – 1626,4 ×t А,
i 3 (t) = i 3 пр(t) + i 3 св(t) = 2 – 1,928× е – 87,8 t –0,072× е – 1626,4 ×t А.
ЗАДАЧА 7.33. Рассчитать токи ПП в цепи рис. 7.52, если
U = 180 В, r 1 = r 3 = 10 Ом, r 2 = 40 Ом, L 1= 1 Гн, L 2= 4 Гн, kC = 1.
Ответы:
Y 1 (t) = -18 + 24× е – 2 t Вб,
Y 2 (t) = 36 – 48× е – 2 t Вб,
i 1 (t) = 18 – 8× е – 2 t А,
i 2 (t) = 18 – 16× е – 2 t А, i 3 (t) = 8× е – 2 t А.
ЗАДАЧА 7.34. Определить токи переходно-го процесса в цепи рис. 7.53, если
Е = 180 В, L 1= 0,6 Гн, L 2= 0,5 Гн,
kC = 0,8, r 2 = 60 Ом, r 3 = 30 Ом.
Ответы:
Y 1 (t) = 6,715 – 6,655× е – 19,3 t – 0,06× е – 863 t Вб,
Y 2 (t) = 5,444 – 5,57× е – 19,3 t + 0,125× е – 863 t Вб, i 1 (t) = 9 – 8,22× е – 19,3 t – 0,78× е – 863 t А,
i 2 (t) = 3 – 3,94× е – 19,3 t + 0,94× е – 863 t А, i 3 (t) = 6 – 4,28× е – 19,3 t – 1,72× е – 863 t А.
7.1.4. Переходные процессы при мгновенном изменении реактив-ных параметров участков цепи (при «некорректных» коммутациях)
При рассмотрении переходных процессов в цепях с размыканием ветвей, содержащих индуктивности, или при включении заряженных конден-
саторов параллельно токи в индуктивных элементах или напряжения на ёмкостных элементах теоретически могут измениться скачком во время ком-мутации, что означает нарушение законов коммутации в ранее принятом виде. Такие результаты – итог предельной идеализации явления. В действитель-ности большие напряжения между контактами ключа вызовут электрическую искру или дугу. Кроме того, не учитываются сопротивления проводов и контактов соединений, наличие распределённой ёмкости между витками катушки. Разность энергий W (0-) – W (0+) расходуется в неучтённых сопро-тивлениях цепи и на излучение при весьма высокой частоте. Уточнённые законы коммутации формулируются следующим образом.
Первый обобщенный закон коммутации. Потокосцепление любого замкнутого контура в момент коммутации (t = 0+) равно алгебраической сумме потокосцеплений всех входящих в него катушек, которые последние имели непосредственно до коммутации (t = 0-). Некоторые из этих катушек перед коммутацией могли одного замкнутого контура и не составлять, а образовали его лишь после коммутации.
Второй обобщенный закон коммутации. Изменение зарядов на всех параллельно включенных конденсаторах за время коммутации равно нулю. То есть сумма зарядов конденсаторов перед коммутацией (t = 0-) равна сумме зарядов непосредственно после коммутации (t = 0+).
ЗАДАЧА 7.35. В схеме рис. 7.54 с числовыми значениями задачи 7.31 рассчитать ток i 2 в случае размыкающегося ключа.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 313 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
