Решение. Первый способ. Сначала рассчитаем напряжение на конденсаторе uС(t) классическим методом, а через него запишем все токи схемы

Первый способ. Сначала рассчитаем напряжение на конденсаторе u_С(t) классическим методом, а через него запишем все токи схемы.

Рассмотрим интервал времени 0 £ t £ t, когда на входе цепи действует напряжение 100 В. Поскольку цепь до подачи импульса находилась в состоянии покоя, здесь имеем нулевое независимое начальное условие –

u_С( 0₊ ) = u_С( 0_- ) = 0.

Принуждённая составляющая напряжения на конденсаторе

u_Спр = × r ₂ = ×30 = 60 В.

Характеристическое уравнение + = 0. Его решение

р = - = - ×10⁶ = -1667 с ^–1.

Постоянная времени цепи t =- р ^–1= 0,6 мс.

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе при одном корне характеристического уравнения имеет вид: u_Ссв(t) = А × e ^рt.

Постоянную интегрирования А определяем из начальных условий:

А = u_Ссв( 0 ) = u_С( 0 ) – u_Спр = -60.

Таким образом, на интервале 0 £ t £ t:

u_С(t) = u_Спр + u_Ссв(t) = 60 – 60× e ^{–1667 t} В.

В конце интервала значение напряжения u_С(t) = 60 – 60× e ^–1 = 37,93 В.

Закон изменения напряжения на конденсаторе при t ³ t (с учётом отсутствия воздействия на входе цепи)

u_С(t) = u_С(t) × e ^р(t-t) = 37,93× e ^{–1667 ( t- 0,0006 )} В.

Окончательно для напряжения на конденсаторе получаем:

u_С(t) =

Ток в ветви с конденсатором

i ₃ (t) = С =

Остальные токи:

i ₂ (t) = u_С(t) / r ₂ =

i ₁ (t) = i ₂ (t) + i ₃ (t) =

Рассчитаем напряжение на конденсаторе u_С(t) вторым способом. Представим заданный прямоугольный импульс напряжения в соответствии с принципом наложения двумя включениями со сдвигом во времени на интер-вал времени, равный длительности импульса, сначала на положительное напряжение Е, а затем на такое же отрицательное. При включении цепи на положительное напряжение Е = 100 В (при 0 £ t £ t):

u_С(t) = u_С ¢ (t) = 60 – 60× e ^{-1667 t} В (см. первый способ расчёта на интервале 0 £ t £ t).

По аналогии при включении цепи в момент времени t = t на отрица-тельное напряжение - Е = -100 В получим: u_С ¢¢ (t) = -60 + 60× e ^{-1667 ( t – t)} В.

Таким образом, на интервале t ³ t имеем:

u_С(t) = u_С ¢ (t) + u_С ¢¢ (t) = 60×(e ^{–1667 ( t – t)} – e ^{–1667 t}) = 37,93× e ^{–1667 ( t- 0,0006 )} В.

Далее токи вычисляются так же, как и первым способом.

Графики токов см. на рис. 7.80.

ЗАДАЧА 7.19. На вход цепи задачи 7.18 подана серия прямоугольных импульсов длительностью t и амплитудой Е = 100 В. Длительность паузы меж-ду импульсами также равна t. Рассчитать токи переходного процесса в цепи.