Решение. 1. Независимые начальные условия нулевые: i1(0) = i2(0) = 0

1. Независимые начальные условия нулевые: i ₁ ( 0 ) = i ₂ ( 0 ) = 0.

2. Принуждённые токи: i _{1 пр} = = = 5 А, i _{2 пр} = 0.

3. Система уравнений по законам Кирхгофа для послекоммутационного состояния цепи: r × i ₁ + L – M = U,

-M + L = 0.

Алгебраизировав систему уравнений и приравняв её определитель нулю, получим характеристическое уравнение:

D(р) = = rрL + р ² L ² – р ² M ² = 0.

Корни уравнения: р ₁ = 0, р ₂ = - = - = -133,3 с ^-1.

4. Свободные составляющие токов имеют вид:

i _{1 св} (t) = А ₁× е ^{р 1 ×t} + А ₂× е ^{р 2 ×t} = А ₁ + А ₂× е ^{р 2 ×t};

i _{2 св} (t) = В ₁× е ^{р 1 ×t} + В ₂× е ^{р 2 ×t} = В ₁ + В ₂× е ^{р 2 ×t}.

5. Рассчитаем зависимые начальные условия (значения производных от токов в начальный момент времени), используя составленную в п.3 систему уравнений для момента времени t = 0₊:

Li ₁¢ ( 0 ) – Mi ₂¢ ( 0 ) = U – r × i ₁ ( 0 ) = 50, или 0,1 i ₁¢ ( 0 ) – 0,05 i ₂¢ ( 0 ) = 50,

-Mi ₁¢ ( 0 ) + Li ₂¢ ( 0 ) = 0; -0,05 i ₂¢ ( 0 ) + 0,1 i ₂¢ ( 0 ) = 0.

Решение системы: i ₁¢ ( 0 ) = 667 А / с, i ₂¢ ( 0 ) = 333 А / с.

6. Начальные значения свободных токов и их производных:

- с одной стороны, i _{1 св} ( 0 ) = А ₁ + А ₂, i _{1 св} ¢ ( 0 ) = А ₂× р ₂;

i _{2 св} ( 0 ) = В ₁ + В ₂, i _{2 св} ¢ ( 0 ) = В ₂× р ₂;

- с другой стороны, i _{1 св} ( 0 ) = i ₁ ( 0 ) – i _{1 пр} ( 0 ) = 0 – 5 = -5 А,

i _{1 св} ¢ ( 0 ) = i ₁¢ ( 0 ) – i _{1 пр} ¢ ( 0 ) = 667 А / с,

i _{2 св}( 0 ) = i ₂ ( 0 ) – i _{2 пр}( 0 ) = 0,

i _{2 св} ¢ ( 0 ) = i ₂¢ ( 0 ) – i _{2 пр} ¢ ( 0 ) = 333 А / с.

Получаем и решаем системы уравнений:

А ₁ + А ₂ = -5, А ₂× р ₂ = 667; А ₂ = 667/(-133,3) = -5, А ₁ = 0;

В ₁ + В ₂ = 0, В ₂× р ₂ = 333; В ₂ = 333/(-133,3) = -2,5, В ₁ = - В ₂ = 2,5.

7. Окончательно записываем:

i ₁ (t) = i _{1 пр} + i _{1 св} = 5 – 5× е ^{–133,3 t} А, i ₂ (t) = 2,5 – 2,5× е ^{–133,3 t} А.

То, что i ₂ (¥) ¹ 0, объясняется тем, что резистивное сопротивление вторичного контура r ₂ = 0, что означает, что вторичный контур изготовлен из сверхпроводника.

ЗАДАЧА 7.31. Рассчитать токи переход-ного процесса в схеме рис. 7.50. Числовые значения: Е = 10 В, r = 1 Ом, L ₁= 0,1 Гн,

L ₂= 0,05 Гн, М = 0,05 Гн.