Решение. 1. Независимое начальное условие получим расчётом цепи до коммутации: i2(t-) = 0; i1(t-) = i3(t-) = I1m×sin(100t + yi1);

1. Независимое начальное условие получим расчётом цепи до коммутации: i ₂ (t_-) = 0; i ₁ (t_-) = i ₃ (t_-) = I _{1 m} × sin( 100 t + y_{i 1} );

I _{1 m} = = = 0,5 A,

y_{i 1} = y_u – arctg = 30° + arctg = 60°,

U_cm = I _{1 m} × = 0,5×100 = 50 B, y_uC = y_{i 1} – 90° = -30°;

u_C(t_-) = U_cm × sin( 100 t + y_uC) = 50× sin( 100 t – 30° ) B.

Независимое начальное условие с учётом второго закона коммутации:

u_C( 0₊ ) = u_C( 0_- ) = 50× sin(- 30° ) = -25 B.

2. В соответствии с классическим методом расчёта

u_С(t) = u_Спр(t) + u_Ссв(t),

i ₁ (t) = i _{1 пр}(t) + i _{1 св}(t), i ₂ (t) = i _{2 пр}(t) + i _{2 св}(t), i ₃ (t) = i _{3 пр}(t) + i _{3 св}(t).

3. Принуждённые составляющие рассчитаем символическим методом:

U _m = 100× е ^{j 30°} B,

Z = r ₁ + = 173 + = 228,7× е ^{–j 12,6°} Ом,

I _{1 прm} = = = 0,437× е ^{j 42,6°} A,

I _{2 прm} = I _{1 прm} × = 0,437× е ^{j 42,6°}× = 0,309× е ^{–j 2,4°} A,

I _{3 прm} = I _{1 прm} × = 0,437× е ^{j 42,6°}× = 0,309× е ^{j 87,6°} A,

U _Cпрm = I _{2 прm} × r ₂ = 0,309× е ^{–j 2,4°}×100 = 30,9× е ^{-j 2,4°} B.

Мгновенные значения принуждённых токов:

i _{1 пр} (t) = 0,437× sin( 100 t + 42,6° ) А, i _{2 пр} (t) = 0,309× sin( 100 t – 2,4° ) А,

i _{3 пр} (t) = 0,309× sin( 100 t + 87,6° ) А.

Мгновенное и начальное значения принуждённой составляющей напряжения на конденсаторе:

u_Спр(t) = 30,9× sin( 100 t – 2,4° ) B, u_Спр( 0 ) = 30,9× sin(- 2,4° ) = -1,29 B.

Начальное значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе: u_Ссв( 0 ) = u_С( 0 ) – u_Спр( 0 ) = -25 + 1,29 = -23,71 B.

4. Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Z(р) = + = 0, р = - = - = -157,8 с ^–1.

Свободные составляющие токов: i _{1 св} = А × е ^рt, i _{2 св} = В × е ^рt, i _{3 св} = D × е ^рt.

5. Постоянные интегрирования определим по эквивалентной схеме для начального момента времени только для свободных составляющих (рис. 7.30,б): А = i _{1 св} ( 0 ) = - = - = 0,137;

В = i _{2 св}( 0 ) = = = -0,237;

D = i _{3 св}( 0 ) = i _{1 св}( 0 ) – i _{2 св}( 0 ) = 0,173 + 0,237 = 0,374.

6. Записываем окончательные формулы для токов:

i ₁ (t) = i _{1 пр}(t) + i _{1 св}(t) = 0,437× sin( 100 t + 42,6° ) + 0,137× е ^{–157,8 t} А,

i ₂ (t) = i _{2 пр}(t) + i _{2 св}(t) = 0,309× sin( 100 t – 2,4° ) – 0,237× е ^{–157,8 t} А,

i ₃ (t) = i _{3 пр}(t) + i _{3 св}(t) = 0,309× sin( 100 t + 87,6° ) + 0,374× е ^{–157,8 t} А.

ЗАДАЧА 7.16. В приведенной на рис. 7.31 схеме рассчитать токи. Числовые данные:

u(t) = 400× sin( 314 t – 120° ) B, r ₁ = 40 Ом, r ₂ = 50 Ом, r ₃ = 70 Ом, L = 0,11 Гн. Построить график тока с наибольшей свободной составляющей.

Ответы:

i ₁ (t) = 6,616× sin( 314 t – 147,3° ) – 0,711× e ^{–231,4 t} A,

i ₂ (t) = 5,933× sin( 314 t – 173,6° ) – 1,117× e ^{–231,4 t} A,

i ₃ (t) = 2,927× sin( 314 t – 83,6° ) + 0,406× e ^{–231,4 t} A.

ЗАДАЧА 7.17. В схеме рис. 7.32 рассчитать токи переходного процесса. Параметры цепи:

u(t) = 100× sin( 314 t – 90° ) В, r ₁ = r ₃ = 100 Ом,

r ₂ = 60 Ом, L = 0,255 Гн.

Ответы:

i ₁ (t) = 0,658× sin( 314 t – 99,5° ) – 0,101× е ^{–431 t} A;

i ₂ (t) = 0,368× sin( 314 t – 126,0° ) – 0,202× е ^{–431 t} A;

i ₃ (t) = 0,368× sin( 314 t – 72,9° ) + 0,101× е ^{–431 t} A.

ЗАДАЧА 7.18. На вход схемы рис. 7.33 с параметрами r ₁ = 20 Ом, r ₂ = 30 Ом, С = 50 мкФ подан одиночный прямоугольный импульс ампли-тудой Е = 100 В длительностью t. Рассчитать токи переходного процесса в цепи.