Тригонометрический ряд Фурье

С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.

Определение 4.1. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

, (4.3)

где действительные числа называются коэффициентами ряда.

Свободный член ряда записан в виде для единообразия получающихся в дальнейшем формул.

Приведем формулы, которые помогут найти коэффициенты ряда (4.3) .

Считая и целыми положительными числами, находим:

(1) Если , то ;

Если , то .

(2) При любом .

(3) Если , то

Если , то

.

(4) При любых и

(5) Если , то

Если , то

.

Замечания.

1. Формулы (1) – (5) показывают, что семейство функций

обладают свойством ортогональности: интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину , равен нулю.

1. Формулы (1) – (5) справедливы и в случае, когда область интегрирования есть отрезок .

Пусть - произвольная периодическая функция с периодом . Предположим, что функция разлагается в тригонометрический ряд, т.е. является суммой ряда:

. (4.4)

Так как функция (и сумма ряда) имеет период , то ее можно рассматривать в любом промежутке длины . В качестве основного промежутка возьмем отрезок (также удобно взять отрезок ) и предположим, что ряд (4.4) на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты и . Для этого проинтегрируем обе части равенства (4.4) в пределах от до .

.

Интегралы от всех, кроме нулевых членов ряда равны нулю в силу формул (1) и (2).

Отсюда

. (4.5)

Умножив обе части равенства (4.4) на и проинтегрировав полученный ряд в пределах от до , получаем:

В силу формул (1), (3) и (4) из последнего равенства при получаем:

.

Отсюда

. (4.6)

Аналогично, умножив равенство (4.4) на и проинтегрировав почленно на отрезке , найдем:

. (4.7)

Итак, заранее предполагая, что функция может быть разложена в тригонометрический ряд (4.4), мы сумели найти все его коэффициенты.

Определение 4.2. Ряд вида:

называется рядом Фурье функции .

Коэффициентами Фурье функции называются числа и определяемые формулами

, , где .