Периодические процессы

При изучении разнообразных периодических процессов, т.е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются (они встречаются в радиотехнике, электротехнике, теории упругости, теории и практике автоматического регулирования и т.д.), целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция , определенная на множестве , называется периодической с периодом , если при каждом значение и выполняется равенство .

Для построения графика периодической функции периода достаточно построить его на любом отрезке длины и периодически продолжить его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период , есть периодическая функция с периодом .
2. Если функция имеет период , то функция имеет период .
3. Если функция имеет период и интегрируема на отрезке , то при любых и .

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . Период этих функций равен .

Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией

, (4.1)

где , - амплитуда колебания, - частота, - начальная фаза.

Функция такого вида и ее график называют простой гармоникой. Основным периодом функции (4.1) является . показывает, сколько колебаний совершает точка в течение единиц времени.

Проведем преобразования функции (4.1):

,

или

, (4.2)

где . Отсюда видно, что простое гармоническое колебание описывается периодическими функциями и .

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида и .

Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (4.1) или (4.2)? Если да, то, как найти неизвестные параметры (коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй вопрос, а потом и на первый.