![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим некоторую функцию , определенную на интервале
, и пусть
. Допустим также, что функция
имеет в окрестности точки
производные любого порядка. Поставим функции
в соответствие степенной ряд, (окрестностью точки
называется любой интервал, содержащий эту точку
),
(42)
0! = 1, n! = 1×2×3×4× ××× × n, n Î N.
Такой ряд называется рядом Тейлора функции в точке
.
Если , то ряд Тейлор имеет вид:
(43)
и называется рядом Маклорена.
Радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю или отличен от нуля. Причем, в последнем случае сумма ряда Тейлора может не совпадать с функцией
. Если ряд Тейлора сходится к функции
, для которой он составлен, то говорят, что
разложима в ряд Тейлора в окрестности точки
.
Заметим, что частичные суммы ряда Тейлора
представляют собой многочлены Тейлора функции
в точке
. Если ряд сходится к функции
, справедливо равенство
где - многочлен Тейлора,
- остаточный член формулы Тейлора.
Напомним, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в одном из следующих видов:
- форма Лагранжа,
- форма Коши.
Имеет место необходимый и достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.
Теорема 1. Для того, чтобы существовало разложение в ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой в окрестности точки функции
необходимо и достаточно, чтобы
где - остаточный член формулы Тейлора,
Теорема 2. (Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора). Если для все производные функции
, ограничены одной и той же константой М, то ряд Тейлора сходится к функции
в интервале
Теорема 3. Если степенной ряд по степеням сходится к функции
в окрестности точки
, то он является рядом Тейлора функции
в окрестности этой точки.
Приведем примеры разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций:
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 485 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!