IV. Функциональные ряды

Пусть последовательность функций, определенных на некотором множестве Х.

Определение. Ряд вида

(39)

членами которого являются функции называется функциональным.

Каждому значению соответствует числовой ряд Он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если ряд сходится, точка называется точкой сходимости функционального ряда (39).

Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Сходимость функционального ряда в каждой точке называется поточечной сходимостью.

Определение. Функциональный ряд (39) называется равномерно сходящимся в области к функции , если для любого существует номер , не зависящий от , такой, что

где n- я частичная сумма ряда, сумма ряда.

Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствам и ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно в области .

Числовой ряд , члены которого удовлетворяют неравенствам теоремы, называется мажорантой (мажорантным рядом) для функционального ряда , а сам функциональный ряд называется в этом случае мажорируемым на множестве .Из признака Вейерштрасса следует, что условие мажорируемости ряда является достаточным для его равномерной сходимости.

Сформулируем свойства равномерно сходящихся рядов:

1. (О непрерывности суммы функционального ряда)

Если на множестве функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма непрерывна на .

2. (О почленном интегрировании)

Если функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится к функции равномерно на отрезке , то его можно почленно интегрировать на любом отрезке , и справедливо неравенство:

причем ряд сходится равномерно на отрезке .

3. (О почленном дифференцировании)

Если функциональный ряд (39) с непрерывно дифференцируемыми на отрезке членами сходится к функции , а ряд сходится равномерно на , то ряд (39) сходится равномерно на , его сумма - непрерывно дифференцируемая функция, и справедливо неравенство:

.