![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть последовательность функций, определенных на некотором множестве Х.
Определение. Ряд вида
(39)
членами которого являются функции называется функциональным.
Каждому значению соответствует числовой ряд
Он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если ряд
сходится, точка
называется точкой сходимости функционального ряда (39).
Множество всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Сходимость функционального ряда в каждой точке
называется поточечной сходимостью.
Определение. Функциональный ряд (39) называется равномерно сходящимся в области к функции
, если для любого
существует номер
, не зависящий от
, такой, что
где n- я частичная сумма ряда,
сумма ряда.
Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствам
и ряд
сходится, то функциональный ряд
сходится равномерно в области
.
Числовой ряд
, члены которого удовлетворяют неравенствам теоремы, называется мажорантой (мажорантным рядом) для функционального ряда
, а сам функциональный ряд называется в этом случае мажорируемым на множестве
.Из признака Вейерштрасса следует, что условие мажорируемости ряда является достаточным для его равномерной сходимости.
Сформулируем свойства равномерно сходящихся рядов:
1. (О непрерывности суммы функционального ряда)
Если на множестве функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумма
непрерывна на
.
2. (О почленном интегрировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится к функции равномерно на отрезке
, то его можно почленно интегрировать на любом отрезке
, и справедливо неравенство:
причем ряд сходится равномерно на отрезке
.
3. (О почленном дифференцировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывно дифференцируемыми на отрезке членами сходится к функции
, а ряд
сходится равномерно на
, то ряд (39) сходится равномерно на
, его сумма
- непрерывно дифференцируемая функция, и справедливо неравенство:
.
Дата публикования: 2014-11-19; Прочитано: 306 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!