Предельный признак Коши

Пусть для ряда существует предел

(37)

Тогда

1) при l < 1 ряд сходится;

2) при l > 1 ряд расходится;

3) при l = 1 вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.

Пример 21. Исследовать сходимость ряда

Решение. Общий член данного ряда имеет вид .

Найдем

Следовательно, ряд сходится.

В этом примере был использован второй замечательный предел

Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, т. е. такие ряды, все члены которых поочередно меняют знак.

Знакочередующийся ряд может быть записан так

(38)

Пусть дан знакопеременный ряд Тогда ряд, составленный из модулей членов данного ряда , является знакоположительным рядом.

Теорема. Если сходится ряд , то сходится и ряд

Для знакочередующегося ряда имеет место следующая теорема (признак Лейбница):

Если члены знакочередующегося ряда (38) удовлетворяют условиям:

1) 2)

то ряд сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т.е. .

Определение. Если сходится ряд , то ряд называется абсолютно сходящимся. Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Исследование знакочередующегося ряда на сходимость начинают с проверки на абсолютную сходимость. Если ряд, составленный из модулей членов ряда, расходится, применяют признак Лейбница.

Пример 22. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Составим ряд из модулей

Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим условия признака Лейбница:

1)

2)

Оба условия выполняются, следовательно, ряд сходится условно.