Интегральный признак Коши. Если неотрицательная, интегрируемая функция на промежутке монотонно убывает, и члены ряда имеют вид

Если неотрицательная, интегрируемая функция на промежутке монотонно убывает, и члены ряда имеют вид то ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 18. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

Решение. Исследование данного ряда начнем с необходимого
признака сходимости:

Таким образом, при данный ряд расходится, т.к. нарушается необходимое условие сходимости.

Пусть . Рассмотрим

Функция монотонно убывает на промежутке . Найдем несобственный интеграл.

При