Нахождение общего решения уравнения

Если выполняется условие (29), то уравнение (27) может быть записано в виде

Тогда общий интеграл этого уравнения имеет вид

(30)

где - произвольная постоянная.

Функция может быть найдена, используя уравнения (28).

Интегрируя равенство по при фиксированном и учитывая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от , получим

(31)

Затем, дифференцируя найденную функцию по и подставляя её в равенство , найдем .

Подставим функцию в уравнение (31), получим , которая является общим интегралом уравнения (27) с точностью до произвольной постоянной.

Замечание. Для нахождения общего решения уравнения (27) можно было начать с интегрирования равенства при фиксированном . Тогда постоянная интегрирования может зависеть от .

Пример 15. Решить уравнение

Решение.

Проверим условие (29):

Следовательно, левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции и решение будет иметь вид:

Воспользуемся условиями (28).

Тогда

Проинтегрируем первое соотношение по х:

Затем продифференцируем по :

Так как , то получим

Отсюда

Пусть

Тогда и общий интеграл уравнения имеет вид