Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24)

Замечание. При интегрировании уравнений Бернулли можно сразу применить подстановку , не преобразовывая их в линейные.

Пример 14. Решить задачу Коши

Решение. Разделим уравнение на

Получим уравнение Бернулли, т. к. в правую часть входит у и у', .

Решение ищем в виде:

(см. Замечание),

Подставим и в уравнение получим

Вынесем за скобки u в первой степени

Полагая, что , имеем

Запишем систему уравнений

Решая первое уравнение системы, найдем его частное решение.

Подставим во второе уравнение системы и найдем её общее решение.

Интегрируя левую часть уравнения, получаем

Интеграл, стоящий в правой части равенства, найдем с помощью формулы интегрирования по частям

Вычислим:

Окончательно получим

Умножим последнее равенство на (-1) и выразим из него функцию .

Тогда общий интеграл уравнения Бернулли имеет вид:

Воспользуемся начальными условиями у (1) = 1 и найдем .

Подставив с = 0 в общее решение уравнения, найдем его частное решение:

6. Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка вида

(27)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции , то есть

(28)

Для того чтобы уравнение (27) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

(29)