Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производной.

Линейное дифференциальное уравнение имеет вид:

(20)

где и - непрерывные функции от .

Замечание 1. и входятв уравнение (20) только в первой степени.

Замечание 2. или могут быть постоянными числами, если же они одновременно являются константами, то уравнение (20) будет уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 10. Рассмотрим дифференциальное уравнение

Решение. Полагая, что х ¹ 0, разделим обе части равнения на , получим

Перенесем слагаемое в правую сторону, тогда

Данное уравнение является линейным, так как содержит у и у' только в первой степени,

Замечание. В отдельных случаях дифференциальное уравнение нелинейное относительно и является линейным относительно и . Такое уравнение имеет вид:

(21)

где и - непрерывные функции от или могут быть константами.

Пример 11. Определить тип уравнения

Решение. Это уравнение нелинейное относительно у и у'. Представим его в другом виде, воспользовавшись тем, что тогда

Получили уравнение линейное относительно и