Пример 19

=

;

Т.к. дробь – неправильная, то надо выделить целую часть дроби, поделив на .

.

VI. Интегралы вида

где , – действительные числа.

Напомним известные тригонометрические формулы:

;

;

.

Заменив подынтегральные функции по этим формулам, получим интегралы, которые вычисляются просто.

Пример 20. =

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Определение 3. Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.

Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.

Наиболее часто встречаются иррациональности вида:

I.

1) ; – несократимые дроби.

Рекомендуется подстановка: , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей , (н.о.к. ).

2) ;

Подстановка: , где н.о.к. .

3) .

Подстановка: , где н.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

II.

1) ; Подстановка: , .

2) ; Подстановка: , .

3) ; Подстановка: , .

III.

1) приводится к одному из видов в п. II методом выделения полного квадрата трехчлена, стоящего под корнем квадратным.

Пример 21. ;

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей , равно 10.

Сделаем подстановку , ;

Тогда .

– правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие рациональные дроби, что рекомендуется проделать самостоятельно.

Получим: =

=

, где .

Пример 22. ;

Сделаем подстановку, которая приводит подынтегральную функцию к рациональному виду: ;

Найдем из этого уравнения и :

; ;

.

Тогда .

Проинтегрируем правильную рациональную дробь , разложив ее на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

Представим интеграл в виде суммы: (рекомендуется выполнить самостоятельно),

.

Возвращаясь к старой переменной по формуле ,

получим .

Пример 23. ; Это интеграл типа II.

Применим подстановку ; ;

;

тогда ;

;

Чтобы вернуться к первоначальной переменной, выразим через ;

;

Получим ;

Пример 24. ; Это интеграл типа III.

Алгоритм вычисления интеграла такого типа аналогичен алгоритму интегрирования рациональной дроби типа III:

, а именно:

1) Выделение полного квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе;

2) Введение новой переменной.

IV. Интеграл от дифференциального бинома:

, может быть вычислен в конечном виде только в следующих случаях:

1) – целое число, тогда применима подстановка , где – общий знаменатель дробей и . Или разлагают на сумму по формуле бинома Ньютона.

2) – целое число, подстановка , где – знаменатель дроби .

3) – целое число, подстановка , где – знаменатель дроби .

Эти подстановки называются подстановками Чебышева, который доказал, что только в этих случаях дифференциальный бином может быть приведен к рациональному виду и вычислен при помощи элементарных функций.

Пример 25. ;

Запишем интеграл в виде ,

где , , , .

– не целое число; – целое число.

В этом случае применима подстановка: ;

; ; ;

;

Проинтегрируем рациональную дробь: , разложив ее на простейшие: .

Найдя коэффициенты разложения, получим: А= , B= , C= .

Подставим их в разложение и проинтегрируем дроби:

= ,

где = .