Вправи для повторення. 794.З міста A до міста B, відстань між якими дорівнює 40 км, виїхав велосипедист, а через 40 хв назустріч йому з міста B — мотоцикліст

794. З міста A до міста B, відстань між якими дорівнює 40 км, виїхав велосипедист, а через 40 хв назустріч йому з міста B — мотоцикліст. Швидкісь велосипедиста дорівнює 15 км / год, а мотоцикліста — 45 км / год. Через скільки годин після виїзду велосипедиста вони зустрінуться?

795*. Скільки трицифрових чисел можна записати за допомогою цифр 0, 3, 6 і 9, якщо у запису чисел цифри можуть повторюватися?

796. На координатній площині позначте точки A (-4; 0), B (0; 1), C (4; -1) та точку D з абсцисою -3 й ординатою 2.

797. Через точку A (3; 0) проведіть пряму, перпендикулярну до осі х, а через точку В (0; 2) — пряму, перпендикулярну до осі у. Знайдіть координати точки перетину проведених прямих.

798. Знайдіть периметр і площу прямокутника ABCD, якщо А (–1; –1),
В (3; –1), С (3; 1).

24. Графік функції. Функція як математична модель
реальних процесів

1. Графік функції. Розглянемо функцію, задану формулою y = 0,5 x ², де -3 £ x £ 2. Знайдемо значення цієї функції для цілих значень аргументу й занесемо результати в таблицю:

x	-3	-2	-1
y	4,5		0,5		0,5

Значення х ми вибрали так, що кожне наступне на 1 більше від попереднього. Тому кажуть, що таблиця значень функції складена з кроком 1.

Позначимо на координатній площині точки, абсциси яких дорівнюють вибраним значенням аргументу, а ординати ¾ відповідним значенням функції (рис. 4).

Рис. 4 Рис. 5

Добираючи інші значення x, що задовольняють нерівності -3 £ x £ 2, й обчислюючи відповідні значення y, отримаємо інші пари значень х та у.
Кожній із цих пар також відповідає певна точка на координатній площині. Усі такі точки утворюють фігуру, яку називають графіком функції, заданої формулою y = 0,5 x ², де -3 £ x £ 2 (рис. 5).

Графік функції утворюють точки координатної площини, абсциси яких дорівнюють усім значенням аргументу, а ординати ¾ відповідним значенням функції.

2. Графічний спосіб задання функції. Маючи графік функції, можна знаходити її значення за відомим значенням аргументу і навпаки: знаходити значення аргументу за відомим значенням функції.

Розглянемо, наприклад, функцію, графік якої зображений на рисунку 6. (Про таку функцію кажуть, що вона задана графічно.)

Рис. 6

Знайдемо за допомогою графіка значення функції, якщо x = 4. Для цього через точку осі x з абсцисою 4 проведемо пряму, перпендикулярну до осі x. Точка її перетину із графіком функції має координати (4; 8). Отже, якщо x = 4, то значення функції дорівнює 8. Знайдемо за допомогою цього ж графіка значення аргументу, для яких значення функції дорівнює 6. Для цього через точку осі у з ординатою 6 проведемо пряму, перпендикулярну до осі у. Одержимо дві точки її перетину із графіком функції: (2; 6) і (8; 6). Отже,
функція набуває значення 6, якщо x = 2 або x = 8.

Дивлячись на графік, зображений на рисунку 6, можна відмітити деякі властивості функції, заданої цим графіком.

1) Область визначення функції утворюють усі значення х, що задовольняють нерівності -5 £ x £ 10.

2) Найбільше значення функції дорівнює 9 (цього значення функція набуває, якщо х = 6).

3) Найменше значення функції дорівнює -2 (цього значення функція набуває, якщо х = -5).

4) Область значень функції утворюють усі значення у, що задовольняють нерівності -2 £ у £ 9.

5) Значення функції дорівнює нулю, якщо х = -3. Ті значення аргументу, для яких значення функції дорівнюють нулю, називають нулями функції. Отже, значення х = -3 є нулем даної функції.

6) Функція набуває додатних значень, якщо -3 < x £ 10; від’ємних значень — якщо -5 £ x < –3.

3. Функції як математичні моделі реальних процесів. Розглянемо рисунок 7, на якому зображено графік зміни температури води протягом 20 хв.

Рис. 7

Із графіка видно, що: початкова температура води дорівнювала 20°С; протягом перших 8 хв температура води підвищилась до 100°С, потім протягом 6 хв (від 8 хв до 14 хв) температура води не змінювалась, а протягом наступних 6 хв температура води знизилась до 80°С.

Функція, графік якої зображено на рисунку 7, описує реальний процес зміни температури води. Кажуть, що ця функція моделює даний процес, або що вона є математичною моделлю даного процесу.

Якщо тіло рухається рівномірно зі швидкістю 15 м/с, то шлях S м, пройдений ним за час t с, можна обчислити за формулою S = 15 t. У цьому випадку функція, задана формулою S = 15 t, є математичною моделлю рівномірного руху.

У сьомому та наступних класах ми ознайомимося з багатьма функціями, які можна використати для моделювання реальних процесів та залежностей між різними величинами.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1.Побудувати графік функції, заданої формулою:

а) y = 0,5 x + 1, де -4 £ x £ 4, склавши таблицю значень функції з кроком 1; б) y = 1 – x ², де -2 £ x £ 2.

● а) Складемо таблицю значень функції:

x	-4	-3	-2	-1
y	-1	-0,5		0,5		1,5		2,5

Позначимо точки, координати яких подані в таблиці, на координатній площині. Якщо до цих точок прикласти лінійку, то побачимо, що всі вони лежать на одній прямій. Сполучимо відрізком крайні позначені точки. Цей відрізок і є графіком функції y = 0,5 x + 1, де -4 £ x £ 4 (рис. 8).

Рис. 8	Рис. 9

б) Складемо таблицю значень функції:

x	-2	-1
y	-3						–3

Позначимо точки, координати яких подані в таблиці, на координатній площині. Сполучимо їх плавною лінією. Маємо графік функції, заданої формулою y = 1 – x ², де -2 £ x £ 2 (рис. 9). ●

Приклад 2. Чи належить графіку функції y = 2 x ² точка А (3; 9); В (2; 8)?

● Точка А (3; 9) належатиме графіку даної функції, якщо значення функції для x = 3 дорівнює 9.

Знаходимо: якщо x = 3, то y = 2×3² = 18. Значення функції не дорівнює 9. Отже, точка А (3; 9) графіку функції не належить.

Для точки В (2; 8) матимемо: якщо x = 2, то y = 2×2² = 8. Точка В (2; 8) належить графіку функції. ●

Приклад 3. На рисунку 10 зображено графік функції. Користуючись графіком, заповнити таблицю:

x	-6	-2
y				-4	-1,5

Рис. 10

● Заповнимо таблицю:

x	-6	-2		-6	-5; 8	-4 £ x £ -1; 6
y	-4		-1,5	-4	-1,5		●

Усно

799. Функція задана графіком (рис. 11). Знайдіть значення функції, якщо х = -2. Якому значенню аргументу відповідає значення функції у = 2? Яка область визначення та область значень функції?

800. Чи є лінія, зображена на рисунку 12, графіком деякої функції? Відповідь обґрунтуйте.

801. Функція задана графіком (рис. 13).

а) Знайдіть значення функції, якщо х = -4; х = –2; х = 2.

б) Знайдіть значення аргументу, якому відповідає значення функції у = -2; у = 0; у = 3.

в) Яка область визначення та область значень функції?

г) Чому дорівнюють найбільше та найменше значення функції?

д) Вкажіть нулі функції.

е) Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

Рис. 11	Рис. 12	Рис. 13

802. На рисунку 14 показано зміну об’єму води в баку залежно від часу.

Рис. 14

а) Скільки води було в баку у початковий момент часу?

б) Скільки води поступило в бак протягом перших 5 хв; 8 хв; 10 хв?

в) Скільки часу об’єм води в баку не змінювався?

г) Протягом скількох хвилин спорожнився бак?

Рівень А

803. На рисунку 15 зображено графік функції. Користуючись цим графіком, заповніть таблицю:

x	-3	-2			4,5
y						-1,5	–1

Яка область визначення та область значень функції? Чому дорівнює найменше значення функції?Для яких значень х функція набуває додатних значень?

804. На рисунку 16 зображено графік функції. Користуючись цим графіком, заповніть таблицю:

x	-2,5	-1
y					-1,5

Яка область визначення та область значень функції?Чому дорівнює найбільше значення функції? Вкажіть нулі функції. Для яких значень х функція набуває від’ємних значень?

Рис. 15	Рис. 16

805. Побудуйте графік функції, заданої формулою y = 2 x + 1, де -3 £ x £ 3, склавши таблицю значень функції з кроком 1. Чи належать графіку
функції точки A (-2; -3), B (0; -1)? Користуючись графіком, знайдіть: значення функції, якщо х = -1,5; х = 0,5; значення аргументу, якому відповідає значення функції у = 0; у = 1.

806.Побудуйте графік функції, заданої формулою y = -3 x - 1, де -2 £ x £ 2, склавши таблицю значень функції з кроком 1. Чи належать графіку функції точки M (0; -1), N (2; 5)?

Побудуйте графік функції, заданої формулою:

807. а) y = де -4 £ x £ 6; б) y = x ² – 1, де -2 £ x £ 2.

808. а) y = де -6 £ x £ 4; б) y = x ², де –1 £ x £ 3.

809. На рисунку 17 показано графік залежності висоти польоту літака від часу. а) На якій максимальній висоті летів літак? б) Скільки часу літак набирав висоту?

Рис. 17 Рис. 18

810.На рисунку 18 показано графік зміни об’єму води в басейні. а) Який процес зображує цей графік: вода поступає в басейн чи витікає з басейну? б) Скільки води було в басейні в початковий момент часу; через 4 год?

Рівень Б

811. На рисунку 19 зображено графік зміни температури повітря протягом доби.

Рис. 19

а) Якою була температура повітря о 2 год; о 9 год; о 18 год; о 24 год?

б) О котрій годині температура повітря дорівнювала -2°; 0°; 6°?

в) О котрій годині температура повітря була найнижчою; найвищою?

812.На рисунку 20 зображено графік залежності швидкості тіла від часу.

а) Яку швидкість мало тіло через 2 с після початку руху; через 5 с; через 10 с; через 20 с?

б) У який момент часу швидкість тіла дорівнювала 4 м/с; 6 м/с; 8 м/с?

в) У який момент часу швидкість тіла була найменшою?

г) Вкажіть час, протягом якого тіло рухалось зі сталою швидкістю. Який шлях пройшло тіло за цей час?

Рис. 20

813. На рисунку 21 зображено графік руху групи туристів від табору до автостанції.

а)Скільки часу рухалися туристи та який шлях вони подолали? б)Скільки часу витратили туристи на привал? в)З якою швидкістю рухалися туристи протягом перших двох годин; після привалу? г)Яка середня швидкість руху туристів?

Рис. 21

814. Графіком функції є ламана ABCD (сукупність трьох відрізків AB, BC і CD), де A (-2; -3), B (0; 3), C (4; 3), D (6; 1). Накресліть графік функції та заповніть таблицю:

х	-1	1,33			4,5
у			-2			1,5

Яка область визначення та область значень функції? Вкажіть нулі функції. Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

815.Графіком функції є ламана KLMN, де K (-4; 4), L (-2; 2), M (2; 2), N (3; 3). Накресліть графік функції та заповніть таблицю:

х	-3			1,25	2,5
у		3,5

Яка область визначення та область значень функції? Чому дорівнюють найбільше та найменше значення функції? Чи має функція нулі? Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

Побудуйте графік функції, заданої формулою:

816. а) y = х (4 - х), де -1 £ x £ 5; б) y = х ² + 4 х +3, де -3 £ x £ 1.

817. а) y = х ² - 2 х, де -2 £ x £ 3; б) y = (1 – х)(3 + х), де -2 £ x £ 1.

Рівень В

818. Побудуйте графік функції, заданої формулою:

а) де -3 £ x £ 3;

б) де -3 £ x £ 3.