Вправи для повторення. 819. Для яких значень х значення виразу 15х - 6 дорівнює 3?

819. Для яких значень х значення виразу 15 х - 6 дорівнює 3?

820. Розв’яжіть рівняння:

а) (2 х + 3)(4 – (2 х + 3)) = 0; б)

821. У першому сплаві є 40% міді, а в другому — 10%. Скільки кілограмів другого сплаву потрібно додати до 10 кг першого, щоб отримати 30-відсотковий сплав міді?

822. Відстань між містами A і B дорівнює 190 км. З міста A до міста B виїжджає автомобіль і рухається зі швидкістю 90 км / год.На якій відстані від міста B він буде через t год? Запишіть розв’язок у вигляді виразу зі змінною. Знайдіть значення цього виразу, якщо t =1,2.

25. Лінійна функція

1. Що таке лінійна функція. Розглянемо кілька прикладів.

Нехай тіло рухається рівномірно і прямолінійно зі швидкістю 20 м/с й напрям його руху збігається з напрямом осі х (рис. 22). Якщо в початковий момент руху тіло перебувало на відстані 35 м від початку відліку, то через t с тіло перебуватиме на відстані S = 20 t + 35метрів від нього.

Рис. 22

Нехай у басейн через трубу щохвилини вливається 2,5 м³ води. Якщо в початковий момент часу в басейні було 70 м³ води, то об’єм V води (у м³), яка буде у басейні через t хв, можна обчислити за формулою V = 2,5 t + 70.

Формулами S = 20 t + 35, V = 2,5 t + 70, де t — незалежна змінна, задаються функції, які називають лінійними.

Означення

Лінійною функцією називають функцію, яку можна задати формулою виду у = kx + b, де х — незалежна змінна, k і b — деякі числа.

У формулі y = kx + b змінній х можна надавати будь-яких значень, тому область визначення лінійної функції утворюють усі числа.

2. Графік лінійної функції. Побудуємо графік лінійної функції у = 0,5 х – 1. Для цього складемо таблицю кількох значень х та відповідних значень у:

х	–5	–4	–3	–2	–1
у	–3,5	–3	–2,5	–2	–1,5	–1	–0,5		0,5		1,5

Позначимо точки, координати яких подані в таблиці, на координатній площині (рис. 23). Приклавши лінійку, переконуємося, що усі позначені точки лежать на одній прямій. Якби для інших значень х обчислили відповідні значення у і позначили б точки з такими координатами на координатній площині, то й вони лежали б на цій прямій.

Через позначені точки проведемо пряму. Вона є графіком лінійної функції у = 0,5 х – 1.

Рис. 23

Взагалі, графіком лінійної функції є пряма.

Щоб побудувати графік лінійної функції, досить знайти координати лише двох точок графіка, позначити ці точки на координатній площині й провести через них пряму. Так, щоб побудувати графік функції у = 0,5 х – 1, досить було взяти дві точки, наприклад, (0; –1) і (2; 0) та провести через них пряму.

3. Кутовий коефіцієнт. У формулі лінійної функції у = 0,5 х – 1 коефіцієнт біля змінної х додатний: k = 0,5 > 0. Графік цієї функції утворює гострий кут з додатним напрямом осі х (див. рис. 23). На рисунку 24 зображено графік лінійної функції у = –2 х + 1. Для цієї функції k = –2 < 0 і її графік утворює тупий кут з додатним напрямом осі х. Отже, від коефіцієнта k залежить кут, який утворює графік функції y = kx + b з додатним напрямом осі х. Тому число k називають кутовим коефіцієнтом прямої y = kx + b.

Рис. 24

Якщо k > 0, то пряма y = kx + b утворює з додатним напрямом осі х гострий кут, якщо k < 0, — тупий кут.

Якщо k = 0, то формула, якою задається лінійна функція, має вигляд y = 0 x + b, тобто y = b. Така функція для всіх значень х набуває одного й того ж значення b. Наприклад, лінійна функція y = 2 для всіх значень х набуває значення 2. Тому графіком функції є пряма, утворена точками (x; 2), де x — будь-яке число. Ця пряма паралельна осі х (рис. 25).

Рис. 25

Щоб побудувати графік функції y = 2, досить було позначити на осі у точку з ординатою 2 і провести через неї пряму, паралельну осі х.

4. Властивості лінійної функції y = kx + b.

1) Область визначення функції утворюють усі числа.

2) Якщо k ¹ 0, то область значень функції утворюють усі числа; якщо k = 0, то функція набуває лише одного значення у = b.

3) Графіком функції є пряма.

4) Графік функції утворює з додатним напрямом осі х гострий кут, якщо k > 0, тупий кут, — якщо k < 0. Якщо k = 0, то графік паралельний осі х, зокрема, якщо k = 0 і b = 0, то він збігається з віссю х.

5. Функція у = kx. У формулі y = kx + b, якою задається лінійна функція, покладемо b = 0. Одержимо формулу y = kx, якою задається функція, яка є окремим але досить важливим випадком лінійної функції і служить моделлю багатьох реальних процесів. Розглянемо приклади.

1. Нехай тіло рухається зі швидкістю 20 м/с. Тоді шлях S м, пройдений ним за час t с, можна обчислити за формулою S = 20 t. Ця формула задає шлях S як функцію від часу t.

2. Густина заліза дорівнює 7,8 г/см³. Масу m г заліза, об’єм якого дорівнює V см³, можна обчислити за формулою m = 7,8 V. Ця формула задає масу m як функцію від об’єму V.

Перейшовши у прикладах до прийнятих позначень аргументу і функції, матимемо функції, що задаються формулами у = 20 x та у = 7,8 x, тобто формулами виду y = kx, де k ¹ 0.

Функцію, яку можна задати формулою виду у = kx, де х — незалежна змінна, k — деяке число, k ¹ 0, називають ще прямою пропорційністю.

Оскільки пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції, то графіком прямої пропорційності є пряма. Ця пряма проходить через початок координат (бо якщо х = 0, то у = k × 0 = 0).

Для побудови графіка прямої пропорційності досить знайти яку-небудь точку графіка, відмінну від початку координат, і провести через цю точку та початок координат пряму.

Побудуємо графік функції Знайдемо координати якої-небудь точки графіка, відмінної від початку координат: якщо х = 3, то у = 1. Позначимо на координатній площині точку (3; 1) і проведемо через неї та через початок координат пряму (рис. 26). Ця пряма є графіком функції

На рисунку 27 зображено графіки функцій виду y = kx для різних значень k.

Рис. 26	Рис. 27

Якщо k > 0, то графік функції y = kx розміщений у першій і третій координатнихчвертях, а якщо k < 0, — у другій і четвертій чвертях.

Для тих, хто хоче знати більше

6. Точки перетину графіків функцій. На рисунку 28 зображені графіки двох лінійних функцій у = –0,25 х + 4 та у = х – 1. Якщо х = 4, то функції набувають одного й того ж значення у = 3. Отже, графіки функцій мають спільну точку (4; 3). Ще кажуть, що графіки перетинаються в точці (4; 3). Взагалі, графіки двох функцій мають спільну точку, якщо існує значення х, для якого обидві функції набувають одного й того ж значення.

7. Взаємне розміщення графіків лінійних функцій. Розглянемо дві лінійні функції у = 0,5 х – 2 і у = 0,6 х + 1, формули яких мають різні коефіцієнти біля х. З’ясуємо, чи перетинаються графіки цих функцій (рис. 29). Для цього перевіримо, чи існує значення х, для якого обидві функції набувають одного й того ж значення; іншими словами: чи існує значення х, для якого виконується рівність 0,5 х – 2 = 0,6 х + 1. Розв’яжемо дане рівняння:

0,5 х – 0,6 х = 2 + 1; –0,1 х = 3; х = –30.

Якщо х = –30, то обидві функції набувають одного й того ж значення:

у = 0,5 × (–30) – 2 = –15 – 2 = –17 і у = 0,6 × (–30) + 1 = –18 + 1 = –17.

Отже, графіки функцій перетинаються в точці (–30; –17).

Розглянемо дві лінійні функції у = 0,5 х – 2 і у = 0,5 х + 1, формули яких мають однакові коефіцієнти біля х. Рівняння 0,5 х – 2 = 0,5 х + 1 не має коренів. Тому прямі, що є графіками функцій у = 0,5 х – 2 і у = 0,5 х + 1 (рис. 30), не мають спільних точок (ці прямі паралельні).

Рис. 29	Рис. 30

Взагалі, графіки функцій виду та перетинаються, якщо (коефіцієнти біля х різні), і паралельні, якщо (коефіцієнти біля х однакові).

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Побудувати графік функції, заданої формулою
у = –1,5 х + 2. Користуючись графіком, знайти:

а) значення у, яке відповідає х = –1;

б) значення х, якому відповідає у = –2,5.

● Будуємо графік функції. у = –1,5 х + 2 х     y   –1 а) Нехай х = –1. Через точку (–1; 0) проводимо пряму, перпендикулярну до осі х, і знаходимо точку її перетину з графіком. Це точка (–1; 3,5). Отже, значенню х = –1 відповідає значення у = 3,5. б) Нехай у = –2,5. Через точку (0; –2,5) проводимо пряму, перпендикулярну до осі у, і знаходимо точку перетину цієї прямої

з графіком. Це точка (3; –2,5). Отже, значення у = –2,5 відповідає значенню х = 3. ●

Приклад 2. Дано функцію у = 2,4 х – 6. Не будуючи графік функції, знайти координати точок його перетину з осями координат та нулі функції.

● Точки перетину графіка з осями координат — це точки графіка, абсциса або ордината яких дорівнює нулю.

Якщо х = 0, то у = 2,4× 0 – 6 = –6.

(0; –6) — точка перетину графіка з віссю у.

Якщо у = 0, то: 0 = 2,4 х – 6; –2,4 х = –6; х = 2,5.

(2,5; 0) — точка перетину графіка з віссю х.

Значення функції дорівнює нулю (у = 0), якщо 2,4 х – 6 = 0, звідки х = 2,5. Отже, нулем функції є х = 2,5. ●

Приклад 3. Знайти значення функції y = –3 x, якщо х = 2 та х = 5. Порівняти дані значення аргументу і відповідні значення функції.

● Якщо х = 2, то y = –3×2 = –6; якщо х = 5, то y = –3×5 = –15. Порівняємо значення аргументу: 2 < 5; порівняємо відповідні значення функції: –6 > –15. Меншому значенню аргументу відповідає більше значення функції. ●

Усно

823. Які з даних функцій є лінійними:

а) у = х + 5; б) у = –3 х; в) г) у = 8;

д) е) у = 0; є) у = 3 – 7 х; ж) у = х ² + 4?

824. Лінійні функції задані формулами:

а) у = –5 х + 1; б) у = 0,1 х; в) у = –3; г) у = 0.

Чому дорівнює коефіцієнт k у кожній із цих формул?

825. Дано дві лінійні функції у = –3 х + 1 і у = 2 х – 4. Графік якої із цих функцій утворює з додатним напрямом осі х гострий кут; тупий кут?

826. Вкажіть область визначення та область значень функції:

а) у = 3 х + 2; б) у = –3 х + 2; в) у = 3 х; г) у = 2.

827. Яка із заданих функцій є прямою пропорційністю:

а) у = –3 х; б) у = х ²; в) у = 8 х + 1; г) ?

828. Вкажіть правильні твердження:

а) графіком прямої пропорційності є пряма;

б) графік прямої пропорційності проходить через початок координат;

в) якщо k < 0, то графік прямої пропорційності розміщений у І і ІІІ чвертях.

Рівень А

829. Лінійна функція задана формулою у = 2 х – 6. Знайдіть значення у, яке відповідає х = –6; х = 0; х = 9. Для яких значень х значення функції дорівнює –3; 0; 7?

830.Лінійна функція задана формулою у = 5 х – 1. Знайдіть значення у, яке відповідає х = –4; х = 0; х = 2. Для яких значень х значення функції дорівнює –6; 0; 4?

831. Чи проходить графік функції у = 1,8 х + 9 через точку: A (10; 27); B (50; 89), C (–20; –27)?

Побудуйте графік функції, заданої формулою:

832. а) у = 2 х – 3; б) у = –0,5 х + 1; в) у = 0,5 х + 2; г) у = –3 х.

833. а) у = х – 2; б) у = –2 х + 0,5; в) у = –2,5.

В одній системі координат побудуйте графіки функцій:

834. а) у = –1,5 х; у = –1,5 х – 2; у = –1,5 х + 2;

б) у = 4; у = 1,5; у = –2.

835. у = 2 х; у = 2 х – 2; у = 2 х + 1.

836. Побудуйте графік функції, заданої формулою у = –1,5 х + 1,5. Користуючись графіком, знайдіть:

а) значення у, яке відповідає х = –4; х = 0; х = 2;

б) значення х, якому відповідає у = –3; у = 1,5;

в) нуль функції;

г) значення х, для яких функція набуває додатних значень.

837.Побудуйте графік функції, заданої формулою у = 0,5 х – 3. Користуючись графіком, знайдіть:

а) значення у, яке відповідає х = –2; х = 2; х = 4;

б) значення х, якому відповідає у = –2; у = 1;

в) нуль функції;

г) значення х, для яких функція набуває від’ємних значень.

838. Пряма пропорційність задана формулою у = 4 х. Заповніть таблицю:

х	–3		–1
у		–8

839.Пряма пропорційність задана формулою у = –2 х. Заповніть таблицю:

х	–5		–2
у					–4

Побудуйте в одній системі координат графіки функцій:

840. а) у = 4 х; б) у = –4 х; в)

841. а) у = –3 х; б) у = 3 х; в)

842. Побудуйте графік функції Користуючись графіком, знайдіть значення аргументу, яким відповідають такі значення функції: –1; 2; 3.

843.Побудуйте графік функції у = 2 х. Користуючись графіком, знайдіть значення функції, які відповідають таким значення аргументу: –1,5; 2,5.

844. Чи належить графіку прямої пропорційності у = 14 х точка: A (–2; –28); B (0,5; 7); ?

845.Які з точок належать графіку прямої пропорційності у = –4 х: K (4; –1); M (0,3; –1,2); N (0; –4)?

Рівень Б

Побудуйте графіки функцій та знайдіть координати точки їх перетину:

846. а) у = 4 х – 1 і у = 2 х + 2; б) у = –3 х + 2 і у = х – 2;

в) і у = 1.

847. а) у = 3 х – 2 і у = 2 х – 1; б) у = – х + 2 і у = 1,5 х + 2.

848. Чи перетинаються графіки функцій:

а) у = –2,5 х + 1 і у = 2,5 х – 1; б) у = 2 х + 2 і у = 2 х + 3?

Не будуючи графік функції, знайдіть координати точок його перетину з осями координат та нулі функції:

849. а) у = –1,6 х + 4; б) у = 0,3 х – 21; в) у = –8.

850. а) у = 8 – 2,5 х; б) у = –1,6 х + 4,8; в) у = 6.

851. Запишіть формулу прямої пропорційності, якщо її графік проходить через точку: а) (1; 17); б) (–2; –4).

852.Функція у = kх для х = 2 набуває значення 7. Знайдіть k.

853. Знайдіть значення функції y = 2,5 x, якщо х = –2 та х = 4. Порівняйте дані значення аргументів і відповідні значення функції.

854.На рисунку 31 зображено графік прямої пропорційності. а)Запишіть формулу, якою задається ця функція. б)Вкажіть значення у, які відповідають значенням х ³ 0. 855.В одній системі координат побудуйте графіки функцій у = 3,5 та у = 2 х. Для яких значень х точки першого графіка лежать вище від точок другого графіка?

Рис. 31

856.Для яких значень х графік функції у = 0,5 х лежить нижче від графіка функції у = 2?

857. Одна сторона прямокутника дорівнює 2 см, а друга — х см, де х ³ 1. Запишіть формулу, яка задає площу у прямокутника (у квадратних сантиметрах) як функцію від х. Побудуйте графік цієї функції.

858. У початковий момент часу велосипедист перебував на відстані 60 м до фінішу. На рисунку 32 зображено графік зміни відстані від велосипедиста до фінішу відповідно до зміни часу.

а) Через який час велосипедист досяг фінішу?

б) З якою швидкістю рухався велосипедист?

в) Який шлях проїхав велосипедист за дві останні секунди?

859. На рисунку 33 зображено графік руху двох автобусів, що вирушили з однієї станції.

а) Через який час після відходу першого автобуса вирушив другий?

б) З якими швидкостями рухалися автобуси?

в) На якій відстані від станції другий автобус наздогнав перший?

г) Якою формулою задається шлях, пройдений першим автобусом, залежно від часу?

Рис. 32	Рис. 33

860.Олег і Петро змагалися у плаванні на дистанції 200 м у 50-метровому басейні. На рисунку 34 зображено графіки зміни відстані від хлопців до місця старту.

а) Скільки часу витратив кожен із хлопців на подолання перших 50 м дистанції?

б) Хто переміг у змаганні?

в) На скільки секунд відстав переможений від переможця?

г) Яка середня швидкість руху кожного із хлопців на першій стомет­рівці?

д) Що означають точки перетину графіків?

Рис. 34

861 Вартість телеграми визначається так: кожне слово коштує 5 к., додають ще 5 к. і до одержаної суми додають 20% для податку на додану вартість. Запишіть формулу для знаходження вартості телеграми, що складається з n слів. Знайдіть вартість телеграми, що складається з 21 слова.

862. Абонентна плата за телефон становить 7 грн. 34 к. Вартість однієї хвилини місцевих розмов дорівнює 2 к., до того ж, вартість 100 хв розмов входить до абонентної плати. Запишіть формулу для знаходження плати за телефон за місяць, якщо протягом місяця абонент здійснював лише місцеві розмови, загальна тривалість яких дорівнює n хв, де n > 100. Знайдіть плату за телефон, якщо n = 320.

Рівень В

863. Знайдіть координати точки перетину графіків функцій:

а) у = 14 х – 8 і у = 7 х + 8; б) і .

864. Чи проходить графік функції у = х + 4 через точку перетину графіків функцій у = 2 х + 5 і у = –5 х – 2?

865. Знайдіть таке число а, щоб точка перетину прямих у = ах та у = 6 х – 2 мала абсцису 2.

Побудуйте графік функції, заданої формулою:

866. а) у = | x | – 2; б) у = 5 – | x |.

867. а) у = х + 2| x |; б) у = 2 х – | x |.