Вправи для повторення. 933.Розкладіть на множники:

933. Розкладіть на множники:

a) 7 х + ау + 7 у + ах; б) (х - 2)² - 1;

в) 8 x ³ + 125 y ³; г) (a + b + c)² - (a + b)².

934. Знайдіть найменше значення функції у = х ² - 8 х + 1.

935. Одне число більше від іншого на 12, а їх сума дорівнює 44. Знайдіть ці числа.

936*. Розв’яжіть у цілих числах рівняння 3 х + 5 y = 7.

28. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними

1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.

Розглянемо задачу.

У 7-А і 7-Б класах навчаються разом 56 учнів, до того ж, у 7-А класі на 4 учні більше, ніж у 7-Б. Скільки учнів у кожному класі?

Для розв’язання задачі позначимо кількість учнів 7-А класу через х, а кількість учнів 7-Б класу ¾ через у. За умовою задачі, у 7-А і 7-Б класах разом навчаються 56 учнів, тобто х + y = 56. У 7-а класі на 4 учні більше, ніж у 7-Б, тому різниця х - y дорівнює 4: х - y = 4.

Маємо два лінійні рівняння із двома змінними:

х + y = 56;

х - y = 4.

І в першому, і в другому рівняннях змінні позначають одні й ті ж величини ¾ кількості учнів 7-А і 7-Б класів. Тому потрібно знайти такі значення змінних, які перетворюють у правильну числову рівність і перше, і друге рівняння, тобто потрібно знайти спільні розв’язки цих рівнянь.

Якщо потрібно знайти спільні розв’язки двох рівнянь, то кажуть, що ці
рівняння утворюють систему рівнянь.

Систему рівнянь записують за допомогою фігурної дужки. Систему лінійних рівнянь із двома змінними, складену за умовою нашої задачі, записують так:

Спільним розв’язком обох рівнянь цієї системи є пара значень змінних х = 30, y = 26, бо рівності 30 + 26 = 56 і 30 - 26 = 4 є правильними. Цю пару чисел називають розв’язком системи рівнянь.

Означення

Розв’язком системи рівнянь із двома змінними називають пару значень змінних, для яких кожне рівняння системи перетворюється у правильну числову рівність.

Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що розв’язків немає.

2. Розв’язування систем лінійних рівнянь графічним способом.

Розв’яжемо систему рівнянь

Побудуємо в одній системі координат графіки обох рівнянь системи.
На рисунку 44 пряма АВ ¾ графік рівняння 2 х + y = -3, а пряма CD ¾ графік рівняння - х + 3 y = 5. Координати будь-якої точки прямої АВ є розв’язком першого рівняння системи, а координати будь-якої точки прямої CD є розв’язком другого рівняння. Будь-яка спільна точка цих прямих має координати, які є розв’язком як першого, так і другого рівнянь, тобто є розв’язком системи. Оскільки прямі АВ і CD перетинаються в єдиній точці М (-2; 1), то система рівнянь має єдиний розв’язок х = -2; y = 1. Цей розв’язок можна записувати й у вигляді пари (-2; 1).

Рис. 44

Спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь, який ми щойно використали, називають графічним.

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь графічним способом, потрібно побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат і знайти координати спільних точок цих графіків.

Якщо в кожному з рівнянь системи хоча б один з коефіцієнтів біля змінних відмінний від нуля, то графіками таких рівнянь є прямі. Оскільки прямі можуть перетинатися, співпадати або бути паралельними, то такі системи рівнянь можуть мати один розв’язок, безліч розв’язків або не мати розв’язків.

Приклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати графічно систему рівнянь

● Побудуємо графіки обох рівнянь системи.

5 х - 2 y = 11   х - 3 y = -3 х       х   -3 y -3     y     Графіки перетинаються в єдиній точці ¾ точці М (3; 2). Отже, система рівнянь має єдиний розв’язок (3; 2). ● Примітка. Щоб не помилитися, визначаючи за графіками координати точки М, варто перевірити, чи справді знайдені координати є розв’язком системи. Перевіримо: якщо х = 3; y = 2, то 5 × 3 - 2 × 2 = 11 і 3 - 3 × 2 = -3 — правильні рівності. Пара (3; 2) справді є розв’язком системи.

Приклад 2. Скільки розв’язків має система рівнянь

● Побудуємо графіки рівнянь системи.   -2 х + y = 2   -6 х + 3 y = 6 х   -1   х   -1 y       y     Графіки співпадають. Система рівнянь має безліч розв’язків. ●

Приклад 3. Скільки розв’язків має система рівнянь

● Побудуємо графіки рівнянь системи. х + y = 3   2 х + 2 y = 3 х       х   1,5 y       y 1,5   Графіками рівнянь є паралельні прямі (бо Ð OAB = Ð OCD = 45°). Система рівнянь розв’язків не має. ●

Усно

937. Чи є розв’язком системи рівнянь пара чисел:

а) х = 2; y = 1; б) х = 0; y = 0?

938. Скільки розв’язків має система, графіки рівнянь якої зображені на рисунку 45; рисунку 46 (на рисунку 46 прямі паралельні)?

Рис. 45 Рис. 46

Рівень А

Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

939. а) б)

в) г)

940. а) б) в)

941.Чи є пара чисел (-1; 3) розв’язком системи рівнянь:

а) б)

Рівень Б

942. Складіть яку-небудь систему рівнянь, що має розв’язок х = -2; y = 1.

943.Складіть яку-небудь систему рівнянь, що має розв’язок (3; -1).

Скільки розв’язків має система рівнянь:

944. а) б)

в) г)

945. а) б) в)

946. Знайдіть які-небудь два розв’язки системи рівнянь

Рівень В

947. Для яких значень коефіцієнтів а та b розв’язком системи
рівнянь є пара чисел (2; -1)?

948. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

а) б) в)