![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
740. Довжина прямокутника дорівнює n м, а ширина на k м менша. Запишіть у вигляді виразів периметр та площу прямокутника.
741. Турист деяку відстань проплив моторним човном проти течії річки за 1,2 год, а назад повертався плотом протягом 7,2 год. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість човна у стоячій воді дорівнює 21 км/год.
742. Поле, площа якого дорівнює 568 га, поділено на 3 ділянки так, що площа третьої ділянки на 52 га менша від суми площ перших двох ділянок, а площа першої ділянки відноситься до площі другої як 2:3. Знайдіть площу кожної ділянки.
743. Для яких значень коефіцієнта а рівняння aх = 3 має єдиний корінь? Чи існує таке значення а, для якого це рівняння не має коренів?
Цікаво знати | ![]() |
Формули скороченого множення античні математики використовували задовго до нашої ери. На той час формули подавалися не у звичному нам символічному вигляді, а формулювалися словами.
Учені Давньої Греції алгебраїчні твердження, формули, що виражають певні залежності між величинами, трактували геометрично, подаючи величини у вигляді відрізків. Так, добуток ab вони розглядали як площу прямокутника зі сторонами а та b. Наведемо приклад алгебраїчного твердження, яке було відомим давньогрецьким ученим, і яке в геометричній термінології формулювалося так: площа квадрата, побудованого на сумі двох відрізків, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на кожному з цих відрізків, плюс подвоєна площа прямокутника, побудованого на цих відрізках. | ![]() |
Не важко здогадатися, що йдеться про формулу квадрата суми, яку ми зараз символічно записуємо так:
(a + b)2 = a 2 + 2 ab + b 2.
Запитання і вправи для повторення § 5
1. Чому дорівнює добуток різниці двох виразів та їх суми?
2. Запишіть і сформулюйте формулу квадрата суми двох виразів; квадрата різниці двох виразів.
3. Чому дорівнює різниця квадратів двох виразів?
4. Наведіть приклад тричлена, який можна записати у вигляді квадрата суми; квадрата різниці.
5. Чому дорівнює сума кубів двох виразів?
6. Чому дорівнює різниця кубів двох виразів?
7. Які способи розкладання многочленів на множники вам відомі?
744. Виконайте множення:
а) (5 - a)(5 + a); б) (3 b + 2 a)(3 b - 2 a); в) (х + у 2)(х - у 2);
г) (- с + 0,4)(0,4 + с); д) (- m - 5 n)(m - 5 n); е) (ab + 2 a 2)(ab - 2 a 2).
745. Піднесіть до квадрата:
а) (а - 2 b)2; б) (3 x + 2 х 2)2; в) (-0,5 ab - 2 c)2.
Спростіть вираз:
746. а) (a - 6)(a + 6) + (3 - a)(3+ a);
б) (3 x 2 - 1)(3 x 2+ 1) - (1 - 3 x 2)2;
в) (5 а - 2 b)2 + (2 а + 5 b)2 - 29 b 2;
г) (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2 - 2(a 2 + b 2 + c 2);
д) (a 2 - b 2)(a 2 + b 2)(a 4 + b 4) + a 8 + b 8.
747. Доведіть тотожність:
а) (a + b)(a - b) - (a - c)(a + c) = (c - b)(c + b);
б) (n + 1)2 + (n + 5)2 - 3 = (n + 2)2 + (n + 4)2 + 3;
в) (m - 2)(m + 2)(m 2 + 4)(m 4 + 16) = m 8 - 256.
748. Обчисліть:
а) 96 × 104; б) 52 × 48; в) 19,8 × 20,2; г) 7,5 × 8,5.
749. Розв’яжіть рівняння:
а) (х - 3)(х + 3) - х (х + 2) = 1; б) (2 х + 5)2 = (2 х - 3)2;
в) г) (5 х + 3)(5 х - 3) +
= (5 х - 1)2.
750. Доведіть, що для кожного цілого значення n значення виразу:
а) (2 n + 1)(2 n - 1) - (n + 1)2 - n - 1 ділиться на 3;
б) (2 n + 7)(8 n - 8) - (4 n + 5)2 не ділиться на 6.
751. Доведіть, що значення виразу(k - 2)2 + (k + 2)2 - 2(k - 4)(k + 4) не залежать від значень k.
Розкладіть на множники:
752. а) 3 а 2 - 3; б) х 3 - 4 x; в) х 4 у 2 - x 2 у 4;
г) 1,44 a 2 - b 4; д) (с 2 + 1)2 - 4 с 2; е) а 2 - 2 ab + b 2 - 1;
є) 25 m 2 - (4 m - 4)2; ж) х 2 - у 2 - x - у; з) 2 а 2 - 2 b 2 - (а - b)2.
753. а) а 3 - 64; б) х 3 + 8 z 3; в) (х + 2)3 - у 3.
754. а) а 5 - а 3 + а 2 - 1; б) z 4 + z 3 - 8 z - 8; в) 2 х 4 - 2 x 3 - 2 x + 2.
755*.a) (х 2 + хy + y 2)2- (x 3 - y 3)2; б) x 4+ 4.
Розв’яжіть рівняння:
756. а) х 3 - 9 x = 0; б) у (у 2 + 3) = 4 у;
в) х 3 - 5 х 2 - x + 5 = 0; г) 2 z 3 + 3 z 2 = 2 z + 3.
757*. а) x 2 - 4 х + 4 + 2(x - 1)2 = 0; б) (x 2+ 1)2 + (x 2 - х)2 = 1;
в) | х (х - 1)| + x 2 - 2 х + 1 = 0.
Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:
758. а) 4012 - 1992 на 600; б) 853 - 483 на 37;
в) 583 + 423 на 100; г) 733 + 731 на 50.
759. а) 825 - 6412 на 7; б) 169 - 328 + 812 на 7.
760. Доведіть, що вираз x 2- 14 x + 50 набуває лише додатних значень.
761. Доведіть, що вираз 4 x - x 2- 5 набуває лише від’ємних значень.
762. Знайдіть найменше значення виразу:
а) x 2 + 8 x + 17; б) а 2 - 8 аc + 16 c 2 + 16.
763. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних цілих чисел є непарним числом.
764. Доведіть, що різниця квадратів двох послідовних непарних чисел ділиться на 8.
765*. Доведіть, що значення виразу 1510 - 153 + 2256- 2113 ділиться на 226.
766*. Доведіть, що різниця квадратів двох цілих чисел, які не діляться на 3, кратна 3.
767*. Доведіть, що не існує чисел х та у, для яких виконувалася б рівність:
а) х 2+ у 4 - 4 x - 2 у 2 + 7 = 0; б) 2 х 2+ 4 у 2 - 4 xу - 2 x + 3 = 0.
Завдання для самоперевірки № 5
1 рівень
1. Виконайте множення (a - х)(a + х) і вкажіть правильну відповідь:
a) a 2 - 2 ах + х 2; б) a 2 + 2 ах + х 2; в) a 2 + х 2; г) a 2 - х 2.
2. Піднесіть до квадрата (b - 4)2 і вкажіть правильну відповідь:
а) b 2 - 4 b + 16; б) b 2 – 16; в) b 2 - 8 b + 16; г) b 2 + 8 b + 16.
3. Розкладіть на множники многочлен у 2 - 9 та вкажіть правильну відповідь:
a) (у - 9)(у + 9); б) (у - 3)(у - 3); в) (у - 3)(у + 3); г) (у + 3)(у + 3).
4. Обчисліть 852 – 152 та вкажіть правильну відповідь:
а) 140; б) 4900; в) 7000; г) 6125.
5. Подайте тричлен х 2 + 4 х + 4 у вигляді квадрата двочлена та вкажіть правильну відповідь:
а) (х - 2)2; б) (х + 4)2; в) (х – 4)2; г) (х + 2)2.
6. Подайте тричлен a 2 - 10 a + 25 у вигляді квадрата двочлена та вкажіть правильну відповідь:
а) (а - 10)2; б) (а - 5)2; в) (а - 3)2; г) (а + 5)2.
2 рівень
1. Спростіть вираз (3 - a)(3+ a) + (1 - a)2 та знайдіть його значення, якщо a = 0,5.
2. Піднесіть до квадрата:
а) (4 + 3 b)2; б) (2 a – 5)2.
3. Розв’яжіть рівняння:
а) (х – 2)2- x 2 = 12; б) (x + 3)(х – 3) – x 2 = 3 x.
4. Розкладіть на множники:
a) 9 у 2 - 16; б) 3 x 2 - 3 y 2; в) 27 a 3- b 3.
5 Подайте у вигляді квадрата двочлена:
a) 9 a 2 + 12 a + 4; б) 100 a 2 + b 2 - 20 ab.
3 рівень
1. Спростіть вираз:
а) (2 x - 7 y)2 + (2 x + 7 y)2 - 8 x 2; б) (2 - 3 b 2)(3 b 2 + 2) + (3 b 2 - 1)2.
2. Доведіть тотожність: (a + 1)(a – 1)(a 2 + 1) – (a 2 – 1)2 – 2 a 2 = –2.
3. Розкладіть на множники:
а) b 6 - 4 b 4; б) 0,001 a 3- 27 b 3; в) 0,8 a 3 + 0,4 a 2 + 0,4 a 4.
4. Доведіть, що вираз- x 2+ 10 x - 27 набуває лише від’ємних значень.
5. Розв’яжіть рівняння:
а) -(2 х + 3)2 + (х + 5)(2 х + 5) = 16; б) x 2- 2 x - 35 = 0.
4 рівень
1. Спростіть вираз:
а) ((x + 2 y 2)(x – 2 y 2))2 + 16 y 8; б) (a + 1)(a – 1)(a 2 + a + 1)(a 2 – a + 1).
2. Розкладіть на множники:
а) m 3 - n 3 + 3 m 2 + 3 mn + 3 n 2; б) а 2+ b 2 + c 2 - x 2 + 2 ab + 2 bc + 2 ca.
3. Розв’яжіть рівняння:
а) (x 2 - 1)(x 2 + 1)(x 4+ 1) = x 8 + 4 x; б) x 3- 9 = x - 9 x 2.
4. Число n при діленні на 5 дає в остачі 3, а число m ¾ в остачі 4. Доведіть, що число n 2 + m 2 ділиться на 5.
5. Доведіть, що многочлен набуває лише невід’ємних значень.
Розділ ІІІ. Функції |
Усе в природі перебуває у стані зміни і розвитку. Вивчаючи явища, пов’язані із цією невід’ємною рисою природи, вчені дійшли до понять змінної величини і функції. У даному розділі ми з’ясуємо, що таке функція, графік функції, що таке лінійна функція та які її властивості. |
§ 6. ФУНКЦІЇ
23. Функція. Способи задання функції
1. Функції та способи їх задання. Нехай сторона квадрата дорівнює а см, а його периметр — Р см. Знаючи сторону а, за формулою P = 4 а можна знайти відповідне їй значення периметра P. Наприклад,
якщо а =6, то P = 4 · 6 = 24;
якщо а = 0,1, то P = 4 · 0,1 = 0,4;
якщо а = 2,5, то P = 4 · 2,5 = 10.
Бачимо, що значення периметра залежать від того, яких значень ми надавали довжині сторони квадрата. Зауважимо також, що кожному значенню довжини сторони відповідає одне певне значення периметра. Так, значенню а =6 відповідає значення P = 24, значенню а = 0,1 — значення P = 0,4.
У даному прикладі маємо дві залежні змінні а і P — довжину сторони квадрата і його периметр. Значення змінної а можна вибрати довільно, а значення змінної Р залежать від вибраних значень а. Тому а називають незалежною змінною, а Р ¾ залежною змінною.
Розглянемо ще один приклад залежності між змінними.
Водій вирішив простежити за лічильником, яку відстань він проїде за 1 год, 2 год, 3 год, 4 год, 4,5 год, 5 год. Результати спостережень він записав у вигляді таблиці:
t,год | 4,5 | |||||
S, км |
У даному прикладі маємо дві залежні змінні: час t і шлях S, пройдений за цей час. Значення шляху залежать від значень часу. Так, часу t = 2 відповідає значення шляху S = 170, часу t = 4,5 — значення шляху S = 335. До того ж, кожному значенню часу відповідає одне певне значення шляху. Тому в даному випадку t є незалежною змінною, а S — залежною змінною.
У математиці, як правило, незалежну змінну позначають буквою х, а залежну змінну — буквою у. У розглянутих прикладах кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. За таких умов для залежної змінної використовують термін «функція».
Означення | Змінну у називаютьфункцією від змінної х, якщо кож-ному значенню змінної х відповідає одне певне значеннязмінної у. |
Для незалежної змінної теж є спеціальний термін: її називають аргументом. Кажуть: у є функцією від аргументу х.
Отже, в розглянутих прикладах:
периметр Р квадрата є функцією від довжини його сторони а; тут Р — функція, а — аргумент;
шлях S є функцією від часу t; тут S — функція; t — аргумент.
Перша функція задана формулою P = 4 а. Друга функція задана таблицею.
2. Область визначення та область значень функції. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), утворюють область визначення функції; усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), утворюють область значень функції.
Так, область визначення функції, що задається формулою P = 4 а, утворюють усі значення, яких може набувати змінна а. Оскільки ця змінна визначає довжину сторони квадрата, то а може набувати лише додатних значень. Отже, область визначення цієї функції утворюють усі додатні числа.
Область значень функції, що задається формулою P = 4 а, утворюють усі значення, яких може набувати залежна змінна Р. Периметр Р не може дорівнювати від’ємному числу або нулю, однак може дорівнювати будь-якому додатному числу. Наприклад, Р може дорівнювати 2, бо 2 — це периметр квадрата зі стороною 0,5. Отже, область значень цієї функції утворюють усі додатні числа.
Область визначення функції, заданої таблицею, утворюють числа
1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа першого рядка таблиці); область значень цієї функції утворюють числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа другого рядка таблиці).
Розглянемо функцію, задану формулою y = x 2 + 1, де 0 £ х £ 10. Такий запис означає, що областю визначення функції є всі значення х, які задовольняють нерівності 0 £ х £ 10.
Якщо функція задана формулою y = x 2 + 1 і не вказано, яких значень можна надавати аргументу, то вважають, що область визначення функції утворюють усі числа.
Приклади розв’язання вправ
Приклад 1. Автомобіль, рухаючись зі швидкістю 80 км / год,проходить за t год шлях S км. Задати формулою функцію S від t. Знайти значення функції, які відповідають значенням аргументу: 2; 2,5; 4.
● Функція задається формулою S = 80 t. Якщо t = 2,то S = 80 · 2 = 160; якщо t = 2,5,то S = 80 · 2,5 = 200; якщо t = 4,то S = 80 · 4 = 320. ●
Приклад 2.Починаючи із третьої години, через кожну годину міряли атмосферний тиск і записували дані в таблицю:
t, год | |||||||
р,мм рт. ст. |
Залежність між якими змінними задає ця таблиця? Чи задає таблиця функцію? Який тиск у мм ртутного стовпчика був о 4 год; о 8год? Яка область визначення функції; область значень?
● Таблиця задає залежність між годинами t доби й атмосферним тиском р. Змінна р єфункцією від змінної t, бо кожному значенню t відповідає єдине значення р. Якщо t = 4, то за таблицею знаходимо: р = 748. Отже, о 4 годині атмосферний тиск був 748 мм рт. ст. Аналогічно о 8 годині — 755 мм рт. ст. Область визначення функції утворюють числа 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9, а область значень — числа 746, 748, 751, 752, 755 і 756. ●
Приклад 3.Функція задана формулою y = х 2 - 3. Скласти таблицю значень аргументу і відповідних значень функції, надавши аргументу таких значень: -6; -3; -2; 0; 2; 3; 6.
x | -6 | -3 | -2 | ||||||
● | y | –3 | ● |
Приклад 4.Для яких значень аргументу значення функції дорівнює -3, якщо функція задана формулою:
а) y = 2 x - 5; б) y = х 2 + x - 3; в) y = х 2 + 1?
● а) Щоб знайти значення х, для яких у = -3, розв’яжемо рівняння 2 x - 5 = -3: 2 x = 2; х = 1. Отже, функція набуває значення у = -3, якщо х = 1.
б) х 2 + x - 3 = -3; х 2 + x = 0; х (х + 1) = 0;
x = 0 або х + 1 = 0; x = 0 або х = –1.
Функція набуває значення -3, якщо х = 0 або х = –1.
в) х 2 + 1 = -3; х 2 = –4 — рівняння коренів не має. Значення -3 дана
функція не набуває. ●
Усно
768. Нехай x ¾ довжина сторони квадрата, а S ¾ його площа. Чому S є
функцією від х? Яка змінна є незалежною, а яка залежною; яка є аргументом, а яка — функцією? Задайте функцію формулою.
769. Функція задана формулою y = 5 x.
а) Яка змінна є незалежною, а яка — залежною; яка є аргументом, а яка — функцією?
б) Яке значення функції відповідає значенню аргументу х = 2; х = -1?
в) Якому значенню аргументу відповідає значення функції у = 5; у = 0?
770. Залежності змінної у від змінної х задані таблицями:
а) | x | б) | х | |||||||
y | у | 1; 3 | 1; 3; 9 |
(У таблиці б) числам 1, 3, 9 відповідають їхні дільники.) Яка з таблиць задає функцію? Для функції вкажіть область визначення та область значень.
771. Функція задана таблицею:
x | -2 | ||||
y | -1 |
а) Чому дорівнює значення функції, якщо х = -2; х = 1; х = 4?
б) Для яких значень аргументу значення функції дорівнює -1; 7; 3?
в) Яка область визначення функції?
г) Яка область значень функції?
Рівень А
772. Одна сторона прямокутника дорівнює 6 см, а суміжна — x см. За якою формулою можна обчислити площу S прямокутника? Чи задає ця формула функцію?
773. Густина сталі дорівнює 780 кг/м3. Запишіть формулу, за якою можна обчислити масу сталевого куба з ребром а м. Яка область визначення функції, що задається цією формулою? Знайдіть значення функції, якщо а = 0,2.
774.Автомобіль рухається зі швидкістю 75 км / год. За час t год він проходить шлях S км. Задайте формулою шлях S як функцію від часу t. Знайдіть значення функції, якщо t = 2,4.
775. Довжина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 7,5 см, ширина — 4 см, а висота — x см. Задайте формулою об’єм V як функцію від висоти х. Знайдіть значення функції, якщо х = 2,5.
776. Знайдіть значення функції, заданої формулою y = 2 x 2 – x, якщо х = 2; х = 0; х = –1.
777. Знайдіть значення функції, заданої формулою y = 2 x + 1, якщо х = 5; х = 0,5; х = –2.
778. Функція задана формулою y = 18 - 3 x. Складіть таблицю значень функції для значень аргументу: -3; -2; 0; 1; 6.
779. Функція задана формулою y = 2 x 2 + 1. Складіть таблицю значень функції для значень аргументу: -4; -2; 0; 2; 4.
780. Функція задана формулою y = 4 x - 5. Для яких значень аргументу значення функції дорівнює 0; 3?
781. Функція задана формулою y = -2 x + 3. Для яких значень аргументу значення функції дорівнює 1; 5?
782.Функція задана таблицею:
х | -4 | -2 | |||
у | -2 | -1 |
а) Знайдіть значення функції, якщо х = -2; х = 2.
б) Для яких значень х значення функції дорівнює -1; 1?
в) Яка область визначення функції?
г) Яка область значень функції?
Рівень Б
783. Функція задана формулою y = 12 x. Заповніть таблицю:
x | -4 | -3 | 1,5 | 3,5 | ||||||
y | –12 | –6 | -3 |
784. Функція задана формулою y = x + 6. Заповніть таблицю:
x | -12 | -6 | -24 | |||||
y | -4 | -6 |
785. Велосипедист має подолати шлях від села до автостанції завдовжки 7 км, рухаючись зі швидкістю 10км / год. Нехай S км — шлях, який залишилося проїхати велосипедистові через t год після початку руху. Задайте формулою шлях S як функцію від часу t. Знайдіть значення функції, якщо t = 0,5. Яка область визначення і область значень цієї функції?
786.Натуральне число m при діленні на 4 дає неповну частку n і остачу 1. Задайте формулою m як функцію від n. Знайдіть значення функції, якщо n = 50. Яка область визначення і область значень цієї функції?
787. Функція задана формулою y = х 2 - 4 x + 2. Для яких значень аргументу значення функції дорівнює: а) 2; б) -2?
788. Функція задана формулою y = х 2 + 2 x - 3. Для яких значень аргументу значення функції дорівнює: а) –3; б) -4?
789. Функція задана формулою y = 3 x - 1, де змінна х може набувати значень -6; -3; 0; 3; 6; 9. Задайте цю функцію таблицею.
Рівень В
790. Доведіть, що функція y = х 2 + 6 x + 10 не може набувати від’ємних значень.
791. Знайдіть найменше значення функції y = х 2 - 4 x + 2.
792. Для яких значень аргументу значення функції дорівнюють нулю?
793. Функція задана формулою y = x 2 + 2 ах, де а — деяке додатне число. Чи набуває ця функція від’ємного значення?
Дата публикования: 2014-11-18; Прочитано: 1129 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!