Пример. a. ,так как , а степени многочленов в числителе и знаменателе одинаковые, следовательно предел равен отношению коэффициентов при старших степенях

Найти предел функции:

a. ,так как , а степени многочленов в числителе и знаменателе одинаковые, следовательно предел равен отношению коэффициентов при старших степенях.

b. ,так как , а степень многочлена в числителе больше, чем степень многочлена в знаменателе.

c. ,так как , а степень многочлена в знаменателе больше, чем степень многочлена в числителе.

Пример. Найти предел функции.

a.

b.

c.

d. Следующий пример дает неопределенность поэтому число 2 является корнем многочлена, стоящего в числителе и знаменателе. Тогда эти многочлены можно разложить на множители. По формуле разности квадратов

Для разложение многочлена, стоящего в числителе на множители мы можем применить метод группировки или поделить многочлен на многочлен «в столбик».

Тогда получим

Полученная дробь уже не дает неопределенности и для вычисления ее предела мы можем подставить число 2:

Пример. Вычислить пределы:

a.

b. предел непрерывной функции равен значению функции в этой точке.

c. предел непрерывной функции равен значению функции в этой точке.

d.

В случае неопределенности типа нужно перейти к неопределенности типа или , для этого домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение.

e. так как степень числителя больше степени знаменателя, то по рассмотренному ранее правилу мы получаем, что предел равен бесконечности..

Пример. Вычислить пределы:

a) При подстановке значения переменно получается неопределенность типа , поэтому непосредственной подстановкой результат вычислений быть получен не может. Поэтому для его вычисления используем первый замечательный предел и следствие из него. , где , , где .

b) . При непосредственной подстановки значения переменной получается неопределенность типа . Данный предел является непосредственным первого замечательного предела, где в качестве берется функция .

c) при подстановке значения переменной получается неопределенность типа , поэтому для вычисления предела необходимы дополнительные преобразования:

d) При непосредственном вычислении получается неопределенность типа , поэтому для его вычисления мы воспользовались вторым замечательным пределом

e)