Уравнение прямой и плоскости в пространстве

Определение. Плоскость (P) в пространстве с заданной декартовой прямоугольной системой координат может быть задана одним из следующих уравнений: Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости;

§ Условие параллельности плоскостей .

§ Условие перпендикулярности плоскостей .

§ Неполные уравнения плоскостей:

§ D=0 начало координат принадлежит плоскости;

§ A=0 плоскость параллельна оси OX;

§ B=0 плоскость параллельна оси OY;

§ C=0 плоскость параллельна оси OZ;

§ B=C=0 плоскость параллельна OYZ;

§ A=B=0 плоскость параллельна OXY;

§ A=C=0 плоскость параллельна OXZ;

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0 – уравнение плоскости (P), проходящей через точку M(x₀; y₀; z₀) и перпендикулярной вектору – вектору нормали к (P) (вектором нормали к плоскости (P) называется любой ненулевой вектор, перпендикулярный (P));

– уравнение плоскости в отрезках, где a, b, c –направленные отрезки, отсекаемые плоскостью на осях 0x, 0y, и 0z соответственно;

Уравнение плоскости, проходящей через три точки M₁(x₁;y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂), M₃(x₃; y₃; z₃), не лежащие на одной прямой.

Расстояние от точки M₀(x₀; y₀; z₀) до плоскости (P), заданной общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, находится по формуле:

.

Угол j между плоскостями (P₁): и (P₂): есть угол между нормалями и (с поправкой на направление, если угол тупой) к этим плоскостям:

или по формуле

Эти плоскости:

§ параллельны в том и только в том случае, если и коллинеарны;

§ перпендикулярны в том и только в том случае, если .

Определение. Прямая (L) в пространстве с заданной прямоугольной системой координат может быть задана:

Если имеется точка и направляющий вектор . Тогда уравнение прямой можно записать в виде: .

Уравнение прямой по двум точкам , имеет вид .

параметрическими уравнениями , заданные числа x₀, y₀, z₀, l, m, n имеют тот же смысл, что и в канонических уравнениях;

общим уравнением

при этом (L) есть прямая пересечения плоскостей (P₁): , (P₂): .

Если уравнение прямой заданно как пересечение плоскостей, то направляющий вектор вычисляется по формуле:

Угол j между прямыми (L₁) и (L₂) есть угол между направляющими векторами и (с поправкой на направление, если угол между ними тупой):

.

Или по формуле:

.

Угол y между прямой (L): и плоскостью (P): определяется по формуле

Пример. Даны вершины тетраэдра A(2,3,1),B(4,1,-2),C(6,3,7), D(-5,-4,8).

Найти:

1. длину ребра AB;

2. угол между ребрами AB и AD;

3. угол между ребром AD и плоскостью ABC;

4. объем тетраэдра ABCD;

5. уравнение ребра AB;

6. уравнение плоскости ABC;

7. уравнение высоты, опущенной из D на ABC;

8. проекцию точки D на ABC;

9. длину высоты DO.