Рассмотрим некоторые схемы доказательства теорем

1) Пусть и - одноместные предикаты, определённые на множестве . Докажем теорему (1): .

Доказательство можно построить по следующей схеме: выбрать элемент такой, что . Исходя из конкретных условий теоремы, доказывают, что из истинности высказывания вытекает истинность высказывания . Заключают, что импликация принимает значение «истина». Этим фактически заканчивается доказательство теоремы (1). В самом деле, если элемент такой, что , то . Тогда высказывание принимает значение «истина», независимо от истинностного значения высказывания . По определению квантора общности, условие теоремы (1) выполняется для всякого элемента из множества .

2) Схема доказательства, основанная на законе силлогизма:

.

Эта формула является тавтологией. Формула - является логическим следствием формул и .

Иногда для доказательства теоремы (1) находят цепочку импликаций , ,…, . На основании правила цепного заключения делают вывод о справедливости теоремы: .

3) Схема разбора случаев основана на следующей тавтологии:

.

а) Если выполняется , то тоже выполняется.

б) Допускаем, что существует , и выполняется .

в) Если выполняется или , то формула является логическим следствием формул и .

4) Доказательство от противного основано на следующем законе:

.

Эта тавтология используется для доказательства теорем вида . Доказательство осуществляется следующим образом: выбирают элемент такой, что . Допускают, что высказывание . Тогда высказывание . Доказывают, что из истинности следует истинность . Если , то . Получили противоречие. Значит, допущение неверно. Вывод: .

Несложно показать, что логические связки , , , имеют ту же таблицу истинности, что и импликация . Поэтому, иногда доказательство теоремы (1) заменяют доказательством одной из равносильных ей связок. Такой метод доказательства также называют доказательством от противного, т.к. во всех случаях предполагают, что заключение теоремы неверно и выводят отсюда противоречие.