![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Многие теоремы в математике имеют форму импликации . В этом случае условие
называют достаточным для условия
, а условие
– необходимым для условия
.
Рассмотрим для примера известную из планиметрии теорему: «Если в треугольнике боковые стороны равны, то в этом треугольнике углы при основании равны». Разобьём формулировку теоремы на два высказывания: = «В треугольнике боковые стороны равны»,
= «В треугольнике углы при основании равны». Тогда видно, что данная теорема имеет вид импликации
. Пусть
- множество всех треугольников,
- любой элемент из множества
. Тогда последнюю импликацию можно обобщить для произвольного треугольника:
. (1)
(1) – логическая структура теоремы.
Кроме прямой теоремы рассматриваются ещё три:
(2)
(3)
(4)
Если (1) – прямая теорема, (2) – обратная к теореме (1). Если имеет место теорема (1), то это не значит, что теорема (2) также имеет место. Теорема (3) является противоположной к теореме (1). Теорема (4) – теорема, обратная к противоположной.
В силу закона контрапозиции: , теоремы (1) и (4), а также (2) и (3) попарно равносильны. Поэтому вместо теоремы (1) можно доказывать равносильную ей теорему (4). В силу закона двойного отрицания, теоремы (2) и (4) являются взаимно противоположными.
Для некоторых предикатов и
может оказаться, что имеют место и теорема (1), и теорема (2). Тогда эти две теоремы можно объединить в эквивалентность:
. (5)
Такое объединение правомочно в силу следующего закона: . Это правило показывает, что теорема (5) состоит из двух теорем: (1) и (2). Для того, чтобы доказать теорему (5), нужно доказать теорем (1) и (2) (необходимость и достаточность). Для прямой теоремы (1) принята следующая терминология: выполнение свойства
необходимо влечёт выполнение свойства
. Или: свойство
является необходимым условием свойства
. Прямая теорема (1) часто называется необходимым условием теоремы (5). Доказательство теоремы (1) называется доказательством необходимости. Для обратной теоремы (2) принята своя терминология: свойство
является достаточным условием выполнения свойства
. Условие
называется достаточным условием теоремы (5). Её доказательство – это доказательство достаточности. Существует другой способ доказательства теорем вида
. Для доказательства находят последовательность эквивалентностей вида
,
,…,
. На основании закона транзитивности отсюда можно сделать вывод об истинности данной теоремы. Кроме того, иногда доказательство теоремы «
равносильно
» заменяют доказательством противоположной теоремы «не
равносильно не
».
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 516 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!