Некоторые схемы доказательства теорем

Многие теоремы в математике имеют форму импликации . В этом случае условие называют достаточным для условия , а условие – необходимым для условия .

Рассмотрим для примера известную из планиметрии теорему: «Если в треугольнике боковые стороны равны, то в этом треугольнике углы при основании равны». Разобьём формулировку теоремы на два высказывания: = «В треугольнике боковые стороны равны», = «В треугольнике углы при основании равны». Тогда видно, что данная теорема имеет вид импликации . Пусть - множество всех треугольников, - любой элемент из множества . Тогда последнюю импликацию можно обобщить для произвольного треугольника:

. (1)

(1) – логическая структура теоремы.

Кроме прямой теоремы рассматриваются ещё три:

(2)

(3)

(4)

Если (1) – прямая теорема, (2) – обратная к теореме (1). Если имеет место теорема (1), то это не значит, что теорема (2) также имеет место. Теорема (3) является противоположной к теореме (1). Теорема (4) – теорема, обратная к противоположной.

В силу закона контрапозиции: , теоремы (1) и (4), а также (2) и (3) попарно равносильны. Поэтому вместо теоремы (1) можно доказывать равносильную ей теорему (4). В силу закона двойного отрицания, теоремы (2) и (4) являются взаимно противоположными.

Для некоторых предикатов и может оказаться, что имеют место и теорема (1), и теорема (2). Тогда эти две теоремы можно объединить в эквивалентность:

. (5)

Такое объединение правомочно в силу следующего закона: . Это правило показывает, что теорема (5) состоит из двух теорем: (1) и (2). Для того, чтобы доказать теорему (5), нужно доказать теорем (1) и (2) (необходимость и достаточность). Для прямой теоремы (1) принята следующая терминология: выполнение свойства необходимо влечёт выполнение свойства . Или: свойство является необходимым условием свойства . Прямая теорема (1) часто называется необходимым условием теоремы (5). Доказательство теоремы (1) называется доказательством необходимости. Для обратной теоремы (2) принята своя терминология: свойство является достаточным условием выполнения свойства . Условие называется достаточным условием теоремы (5). Её доказательство – это доказательство достаточности. Существует другой способ доказательства теорем вида . Для доказательства находят последовательность эквивалентностей вида , ,…, . На основании закона транзитивности отсюда можно сделать вывод об истинности данной теоремы. Кроме того, иногда доказательство теоремы « равносильно » заменяют доказательством противоположной теоремы «не равносильно не ».