Примеры теорий первого порядка

1) Теория частичного упорядочения.

Пусть содержит единственную предикатную букву и не содержит функциональных букв и предметных констант. Вместо выражения будем писать: (строгое неравенство), и вместо - противоположное неравенство ().

Теория содержит две собственные аксиомы:

1) - антирефлексивность;

2) - транзитивность.

Всякую модель этой теории называют частично упорядоченным множеством.

2) Теория групп.

Пусть имеет одну предикатную букву (равенство), одну функциональную букву (групповая операция) и одну предметную константу (единица группы). В соответствии с обычными обозначениями, будем писать: вместо ; вместо ; вместо .

Собственными аксиомами теории являются формулы:

1) - ассоциативность умножения;

2) ;

3) - существование обратного элемента;

4) - рефлексивность равенства;

5) - симметричность равенства;

6) - транзитивность равенства;

7) - подстановочность равенства.

Всякая модель этой теории называется группой. Если в группе истинна формула , то группа называется коммутативной (или абелевой). В этом случае операция называют обычно сложением (пишут: вместо ), а единичный элемент 1 называют нулём (обозначают: 0), вместо «обратный элемент» говорят «противоположный элемент».