Упражнения для самостоятельной работы. 1. Записать следующие высказывания в виде формул логики предикатов

1. Записать следующие высказывания в виде формул логики предикатов.

1) Всякое натуральное число, делящееся на 12, делится на 2, 4 и 6.

2) Жители Швейцарии обязательно владеют французским, или итальянским, или немецким языком.

3) Функция, непрерывная на отрезке , сохраняет знак или принимает нулевое значение.

2. Доказать, что на конечной области всякий предикат может быть представлен формулой, содержащей только одноместные предикаты.

3. Доказать следующие равносильности:

1) ;

2) ;

3) .

4. Доказать законы де Моргана для предикатов.

5. Доказать, что квантор общности может быть выражен через квантор существования и отрицание (и наоборот).

6. Найти множество истинности предикатов, определённых на множестве :

1) ; 3) ;

2) ; 4) .

7. Найти множество истинности следующих двуместных предикатов, определенных на множестве :

1 ) ; 3) ;

2) ; 4)

8. Доказать следующие утверждения:

а) импликация двух предикатов тождественно истинна, если ее посылка тождественно ложна или заключение тождественно истинно;

б) импликация двух ‑ местных предикатов, зависящих от одних и тех же переменных, с тождественно истинной посылкой равносильна ее заключению;

в) импликация двух предикатов, зависящих от одних и тех же переменных, с тождественно ложным заключением равносильна отрицанию ее посылки.

9. Доказать, что формула является тавтологией, а обратная ей импликация не является тавтологией.

10. Доказать, что формулы и неравносильны.