Операции над предикатами

Так как для любого набора значений переменных из области определения предиката он превращается в высказывание, то на множестве предикатов определены те же логические операции, что и для высказываний. При этом от содержания предикатов отвлекаются. Предикаты рассматриваются только с точки зрения их значения. Другими словами, равносильные предикаты не различаются.

Определение 1: Отрицанием - местного предиката , определенного на множестве , называется новый - местный предикат, определенный на том же множестве. Обозначается: . Читается: «неверно, что ». Предикат принимает значение «истина» только для тех аргументов, для которых значение предиката есть «ложь» и наоборот. Другими словами предикат удовлетворяется теми и только теми аргументами, которые не удовлетворяют данному предикату .

Двуместный предикат принимает значение «истина» для тех и только тех значений переменных из области определения предиката, для которых предикат принимает значение «ложь», т. е. .

Определение 2: Конъюнкцией - местного предиката , определенного на множестве , и - местного предиката , определенного на множестве , называется новый - местный предикат, определенный на множестве , обозначаемый . Читается: « и ». Этот предикат принимает значение «истина» только для тех значений аргументов , для которых предикаты и одновременно принимают значение «истина».

Если, например, - двуместный предикат, определённый на множестве , а - одноместный предикат, определённый на множестве , то конъюнкция этих предикатов есть трёхместный предикат, определённый на множестве . Этот новый предикат принимает значение «истина» для таких троек элементов , , , , для которых и .

Аналогично определяются дизъюнкция, импликация и эквивалентность предикатов. Значения предикатов при заданных значениях свободных переменных определяются в соответствии с конкретными логическими операциями. Операции можно применять также к предикатам, у которых имеются общие переменные. В таком случае число переменных полученного составного предиката будет равняться числу различных переменных у его членов. В частности, если операции применяются к двум - местным предикатам, зависящим от одних и тех же переменных, то в результате применения логических операций получается - местный предикат, зависящий от тех же переменных.

Пусть и – два - местных предиката, зависящих от одних и тех же переменных. Тогда:

а) множество истинности конъюнкции равно пересечению множеств истинности ее членов;

б) множество истинности дизъюнкции равно объединению множеств истинности ее членов.

Не трудно показать, что конъюнкция двух предикатов тождественно истинна тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно истинны. Дизъюнкция двух предикатов выполнима тогда и только тогда, когда, по крайней мере, один из них выполним. Дизъюнкция двух предикатов тождественно ложна тогда и только тогда, когда оба данных предиката тождественно ложны. Импликация двух - местных предикатов зависящих от одних и тех же аргументов, тождественно истинна тогда и только тогда, когда ее заключение является следствием посылки. Эквивалентность двух - местных предикатов, зависящих от одних и тех же переменных тождественно истинна тогда и только тогда, когда оба предиката равносильны.

Всякое уравнение (неравенство), содержащее переменные, является предикатом, определённым на том же множестве, на котором задано уравнение (неравенство). Множество решений уравнения (неравенства) есть ничто иное, как множество истинности предиката. Это означает, что при подстановке корней уравнения (или решений неравенства) вместо неизвестных будут получены истинные высказывания. Если же в уравнение (неравенство) вместо переменных подставлять числа, не являющиеся решениями, то будут получены ложные высказывания. Всякая система уравнений (неравенств) может быть рассмотрена, как конъюнкция предикатов. Решить систему – значит найти область истинности конъюнкции предикатов. Совокупность уравнений (неравенств) есть ничто иное, как дизъюнкция предикатов. Равносильность уравнений (неравенств) означает равносильность соответствующих предикатов.

Если , то говорят, что аргумент удовлетворяет данному предикату. Например, число 3 удовлетворяет предикату , а число 1 ему не удовлетворяет.

В математической логике кроме логических операций над предикатами, существуют операции квантификации, которые делают логику предикатов значительно богаче по содержанию в сравнении с логикой высказываний. При этом, как и в случае простейших операций, предикаты рассматриваются только сточки зрения их значений, т.е. равносильные предикаты не различаются. Основными кванторными операциями являются: квантор общности и квантор существования, которые являются двойственными друг для друга.

Определение 3: Пусть - одноместный предикат, определенный на непустом множестве . Операция, превращающая предикат в высказывание: (читается: «для любого выполняется »), называется квантором общности (или универсальным высказыванием). Высказывание истинно тогда и только тогда, когда данный предикат тождественно истинный (т. е. область истинности предиката совпадает с множеством ).

Символ называется квантором общности по переменой , его читают: «для всех » или «для каждого ». Говорят, что высказывание есть результат применения квантора общности к предикату . Символ происходит от английского слова «All» (в переводе: «все»).

Например, для предикатов «» и «», определенных на множестве действительных чисел, соответствующие универсальные высказывания будут иметь вид: – «каждое действительное число равно самому себе» (истинное) и – «каждое действительное число больше 2» (ложное).

Теорема 1: Если - одноместный предикат, определенный на конечном множестве, состоящем из элементов , ,…, , то соответствующее ему универсальное высказывание эквивалентно конъюнкции высказываний :

.

Доказательство. В самом деле, согласно определению квантора общности, высказывание будет истинным тогда и только тогда, когда предикат тождественно истинный, т.е. когда истинны все высказываний , получаемые из данного предиката заменой переменного аргументами , ,…, соответственно. Последнее замечание возможно в том и только том случае, когда истинна конъюнкция этих высказываний. Т.е. члены эквивалентности одновременно истинны или ложны, а, следовательно, эквивалентность доказана.

Теорема показывает, что для предикатов, определенных на конечном множестве, операция применения квантора общности может быть выражена через конъюнкцию. Для предикатов, определенных на бесконечном множестве, это сделать невозможно, в этом случае операция применения квантора общности является абсолютно новой.

Определение4: Пусть - одноместный предикат, определенный на множестве . Операция, превращающая предикат в высказывание (читается: «существует , удовлетворяющее предикату »), называется квантором существования (или экзистенциональным высказыванием). Высказывание будет истинным тогда и только тогда, когда предикат выполнимый. Это высказывание будет ложным, если предикат тождественно ложный.

Символ называется квантором существования по переменной . Его можно прочитать: «существует такой, что », или «найдётся такой , что ». Говорят, что высказывание - есть результат применения квантора к предикату . Например, для предикатов «» и «», определенных на множестве действительных чисел, соответствующие экзистенциональные высказывания будут иметь вид: – «существует действительное число, большее 2» (истинное), и – «существует действительное число , равное сумме » (ложное). Символ происходит от английского слова «Exist» (существует).

Теорема 2: Если – одноместный предикат, определенный на конечном множестве из элементов , ,…, , то соответствующее ему экзистенциональное высказывание эквивалентно дизъюнкции высказываний :

.

Доказательство: По определению: высказывание будет ложно тогда и только тогда, когда ложны все высказываний , которые получаются из данного предиката при замене переменной аргументами , ,…, соответственно. Последнее замечание возможно в том и только в том случае, когда ложна дизъюнкция этих высказываний. Т.е. члены эквивалентности одновременно истинны или ложны, следовательно, эта эквивалентность истинна.

Эта теорема утверждает, что для предикатов, определенных на конечных множествах, операция применения квантора существования может быть выражена через дизъюнкцию. Для предикатов, определенных на бесконечных множествах, это сделать невозможно. Операция применения квантора существования тогда является абсолютно новой.

Следует запомнить, что для любого предиката , определенного на множестве выражения и – это высказывания, а не предикаты. Присутствие переменной здесь чисто внешнее, связанное со способом обозначений. Поэтому переменная , входящая в выражения и , называется связанной переменной, в отличие от переменной, входящей в предикат , где переменная называется свободной. Если применить операцию «навешивания» кванторов двуместному предикату по какой-нибудь переменной, то в результате двуместный предикат превратится в одноместный предикат с одной свободной переменной. Аналогичные рассуждения можно провести для второй переменной. Переменная, по которой был применён квантор, называется связной переменной. Если применить кванторную операцию к - местному предикату по какой-нибудь переменной, то он превратится в - местный предикат.

Если в любом предикате все переменные связаны, то этот предикат является высказыванием. Например, рассмотрим предикат , определённый на некотором числовом множестве. Составим высказывание . Это ложное высказывание, которое утверждает, что найдётся такое число , которое больше всякого числа ( - единственное число для всех ). Поменяв местами кванторы, получим новое высказывание: . Это высказывание утверждает, что для любого числа можно подобрать такое число , что выполняется неравенство (для каждого существует своё число ). Это высказывание истинно. Видно, что при перестановке кванторов местами меняется смысл высказывания. Таким образом, перестановка разноимённых кванторов местами является недопустимой операцией. Одноимённые кванторы местами менять можно. Причем, одноимённые кванторы можно объединять в один, например: . Недопустимым является также применение нескольких кванторов по одной и той же переменной, например: .

Определение 5: Универсальным высказыванием, соответствующим - местному предикату , определенному на множестве , называется высказывание, полученное из предиката последовательным применением кванторов общности по переменным в любом порядке.

Обозначается такое высказывание и читается кратко так: «для всех выполняется ».

Определение 6: Экзистенциональным высказыванием, соответствующим - местному предикату , определенному на множестве , называется высказывание, полученное из предиката последовательным применением кванторов существования по переменным в любом порядке.

Полученное экзистенциональное высказывание обозначают и читают так: «существует такой набор , что выполняется ».

Например, для двуместного предиката «» соответствующие высказывания имеют вид: – «для любых двух действительных чисел: первое больше второго» (ложное), и – «существуют два действительных числа, из которых первое больше второго» (истинное).

Теорема 3: (Условие тождественной истинности квантифицированного предиката).

‑ местный предикат, полученный из ‑ местного предиката , определенного на множестве , применением квантора общности по какой-либо переменной является тождественно истинным тогда и только тогда, когда данный предикат – тождественно истинный.

Доказательство: Действительно, пусть дан - местный предикат , определенный на множестве . По определению, этот предикат будет тождественно истинным тогда и только тогда, когда его значение для произвольно взятых значений аргументов есть «истина». Это значит, что истинным является универсальное высказывание , соответствующее одноместному предикату , определенному на множестве . Последнее замечание возможно тогда и только тогда, когда предикат – тождественно истинный, но т.к. аргументы выбирались произвольно, то это равносильно тождественной истинности данного - местного предиката . Теорема доказана.

Теорема 4: (Условие тождественной ложности квантифицированного предиката).

-местный предикат, полученный из - местного предиката , определенного на множестве , применением квантора существования по какой-либо переменной, тождественно ложен тогда и только тогда, когда данный предикат тождественно ложен.

Доказательство: Пусть имеем - местный предикат , определенный на множестве . Он будет тождественно ложен тогда и только тогда, когда его значение для произвольно взятых аргументов есть «ложь». Это значит, что ложно экзистенциональное высказывание , соответствующее одноместному предикату , определенному на множестве . Последнее возможно в том и только в том случае, когда предикат тождественно ложен, а т.к. аргументы выбирались произвольно, то и данный - местный предикат тождественно ложен. Что и требовалось доказать.

До сих пор мы противопоставляли предикаты высказываниям. Однако удобнее считать высказывания 0 ‑ местными предикатами. Тогда любые два истинные и любые два ложных высказывания следует считать равносильными между собой. Каждое истинное высказывание будет тогда тождественно истинным 0 -местным предикатом, а каждое ложное высказывание – тождественно ложный 0 -местный предикат. Тогда по определению, если – высказывание, то имеют место эквивалентности: и .