Критерий Бендиксона отсутствия предельных циклов

Если в области G выражение не меняет знак и не равно 0 тождественно, то в этой области не существует замкнутых контуров, составленных из траекторий.

4.10 Использование точечных отображений

для изучения фазовых портретов

На фазовой плоскости возьмём отрезок AB: (дуга без контакта, т.е. на ней нет особых точек и фазовые траектории не являются её касательными).

Пусть дуга АВ- параметрическая кривая: , где S параметр. Обозначим через S координату произвольной точки Q на АВ. Пусть x=x(t) и y(t) фазовые координаты траектории, проходящей через точку Q. С увеличением t фазовая траектория снова пересечёт АВ в точке Q⁺(параметр S⁺). Точка Q⁺ (первого следующего пересечения АВ той же фазовой траекторией) называется последующей по отношению к исходной точке Q. Рис.33.

Рис. 33. Построение точечных отображений

Зависимость S⁺ =f(S) последующего значения параметра, при пересечении фазовой траекторией дуги АВ от предыдущего в силу решения уравнения (1), называется функцией последования. Она определяет закон точечного преобразования для данной не линейной системы.

Для функции последования справедливо следующее:

1)функция последования, для аналитической системы (4.15),тоже является аналитической функцией;

2)производная от функции последования всегда больше 0. Это является следствием того факта, что траектории не пересекаются.

Возможен случай, когда последующая точка Q⁺ совпадёт с исходной Q, т.е. f(s) =s=s^*. При этом мы получаем замкнутую фазовую траекторию (предельный цикл или кривую соответствующую особой точке «центр»). Это траектория L₀ на Рис.33 показана точками. Рассмотрим последовательные точки пересечения с АВ другой траекторией L.

L пересекает АВ в точках S₁…S_n.

При этом S₂=f(S₁); S₃=f(S₂); …S_n+1=f(S_n). 4.16

Если L→L₀ при t→∞, то последовательность 4.16 стремится к S^*. Не подвижная точка S^* отображения S⁺=f(S) называется устойчивой, если существует такая её окрестность, что все последовательности 4.16 с начальным значением S₁ в её окрестности → к S^* (и наоборот –не устойчивые). Таким образом, наличие устойчивых или не устойчивых точек последовательности 4.16 говорит о наличии устойчивого или не устойчивого предельного цикла. Неподвижная точка отображения S⁺ =f(S^*) устойчива, если производная в ней f ^‘(S^*)<1 и не устойчива при f ^‘(S^*)>1. Точка пересечения биссектрисы и f(S) − S^*. Производная в точке S1^* меньше 1, и предельный цикл устойчивый Рис.34.а.

В точке S2^* f ^‘ (S^*)>1 и предельный цикл не устойчивый. Рис. 34.б.

Рис.34. Диаграмма Ламерея

Пример. Дано уравнение

Общее решение будет:

.

Для Н.У. t₀=0; C₂=0; x(0)=C₁=x_0.

Тогда решение в форме Коши будет:

.

Дуга АВ совпадает с осью x. Тогда:

.

T-период, через который фазовая траектория пересекается с АВ (в нашем случае с осью x, и S=X).

Тогда

и особая точка – устойчивый фокус.

Рис.35. Функция последования точечного отображения

На Рис.35 показана функция последования для данного примера.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Матвеев Н.М.Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений.-М.: "Высшая школа",2005.

2. Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: "Высшая школа",2006.

3. Эльсгольц Л.Э.Обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационное исчисление.-М.:Наука, 2007.

4. Арнольд В.И.Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.:Наука. 2001.

5. Самойленко С.М., Кривошея С.А.,.Перестюк Н.А.

Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи.-М.: "Высшая школа",1989 г.

6. Пантелеев А.В., Якимова А.С., Босов А.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах.- М.: «Высшая школа», 2001 г.

7.. Баутин Н.Н, Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1990.

8. Дмитриев В.И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям.-М.:Университет,2007.

9. Дьяконов В.П. MAPLE 9.-М.:СОЛОН-пресс,2004.

10. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н. MATLAB 7. Санкт-Петербурк. «БХВ-Петербург», 2005.

11.Эдвардс и Пенни. Дифференциальные уравнения и краевые задачи. Моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB.-М.:2008.

12. Андронов А.А., Витт А.А, Хайкин С.Э. Теория колебаний.-М.: Наука,1981 г.

13. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Наука.2002 г.