Признак уравнения в полных дифференциалах Построение общего интеграла

Из вышесказанного можно записать:

То есть:

Вычислим вторые смешанные производные от функции :

Так как

то

(1.22)

-необходимое и достаточное условие того, чтобы левая часть (1.20) была полным дифференциалом.

Из условия вычислим

(1.23)

где - произвольная, дифференцируемая по функция. Выберем её так, чтобы

Тогда

.

В данном случае переменная – параметр и можно внести оператор дифференцирования под интеграл, т.к. непрерывна по вместе с .

С условием (1.22) получим:

, или .

Тогда

Подставим выражение для в (1.23) и получим общий интеграл уравнения (1.20):

.

Если в основу построения общего интеграла положить выражение , то получим для него равносильную формулу:

(1.24)