Уравнений с разделяющимися переменными

Вначале мы построим общий интеграл для самых простых уравнений вида

(1.6)

Они называются уравнениями с разделёнными переменными. Это такие уравнения, у которых коэффициенты при дифференциалах зависят только от одной переменной.

Тогда

или

(1.7)

Это общий интеграл (общее решение) уравнения (1.6).

В (1.7) можно не указывать пределов интегрирования, т. к. числа, полученные от нижних пределов, можно включить в константу C.

Таким образом, построение общего решения уравнений с разделёнными переменными сводится к процедуре взятия неопределённых интегралов по соответствующим переменным:

(1.8)

Подставив в полученные после интегрирования выражения начальные условия , найдём значение , т. е. получим решение в форме Коши.

К уравнению с разделёнными переменными приводятся уравнения вида

(1.9)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Функции , , , непрерывны для всех рассматриваемых и .

Умножим (1.9) на :

(1.10)

Если это уравнение представить, как разрешённое относительно производной, то получим

(1.11)

Общий интеграл для (1.10) запишется так же, как для уравнения с разделёнными переменными:

(1.12)

где и . Если в (1.12) ,то получим решение с начальными условиями .