Свойства решений однородного линейного уравнения

1. Если – частное решение (1.13), т. е.

,то , ( - константа) тоже является решением этого уравнения:

.

2. Если – не нулевое частное решение (1.13), то

– общее решение (1.13).

Теперь построим общее решение для неоднородного уравнения (1.13). Пусть – решение этого уравнения. Тогда

.

Возьмём некоторую функцию и выясним, для каких она будет решением неоднородного уравнения. Подставим её в (1.13):

Так как

,

то

– соответствующее однородное уравнение, полученное из (1.13) при .

Тогда: (1.16)

Все решения (1.13) содержатся в (1.16). Это общее решение неоднородного уравнения, где - общее решение соответствующего однородного уравнения.

Построим общее решение уравнения (1.13) методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Запишем решение (1.13) в том же виде, что и соответствующего однородного уравнения:

(1.17)

Заметим, что здесь – не константа, а функция независимой переменной, причём такая, что (1.17) становится решением исходной задачи (1.13). Конкретный вид пока не известен.

Раз это решение, то подставим его в исходное уравнение (1.13):

Тогда:

Подставим полученное выражение для в (1.17):

(1.18)

Первое слагаемое – , т.е. общее решение соответствующего однородного уравнения; второе – , частное решение заданного неоднородного уравнения (1.13), а полностью в формуле (1.18) записано общее решение неоднородного уравнения (1.13).

Заменив в (1.18) неопределённые интегралы на определённые, с переменным верхним пределом (для и ), получим общее решение уравнения (1.13) в форме Коши (т.е. решение задачи с заданными начальными условиями):

(1.19)

Пример 1. Найдем решение неоднородного уравнения

.

Для этого уравнения имеем:

.

Подставим полученное решение в исходное уравнение:

,

Тогда общее решение будет

.

Пример 2. Найдем решение уравнения .

Приведем уравнение к виду

.

Следовательно, Подставив и в общее решение (1.18), получим

При решении этого типа уравнений часто используют метод подстановки, который мало чем отличается от метода Лагранжа. Запишем применение этого метода в общем виде.

Идея метода заключается в том, что решение неоднородного уравнения ищется в виде произведения двух функций:

Раз решение, можно подставить его в исходное уравнение (1.13).

Или:

Одну из неизвестных функций можно выбрать произвольно. Обычно это причём её рассматривают как решение дифференциального уравнения (выражение в скобках в последней формуле):

Нетрудно догадаться, что мы получили соответствующее однородное уравнение, и его решение будет:

Тогда, учитывая, что выражение в скобках =0, получим решение для U(x):

И общее решение исходного неоднородного уравнения будет (как и в методе Лагранжа):

В заключение этого параграфа заметим, что в общем представлении уравнений, разрешимых по отношению к производной , для линейных неоднородных уравнений правая часть запишется в следующем виде:

.