![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
1. Если – частное решение (1.13), т. е.
,то
, (
- константа) тоже является решением этого уравнения:
.
2. Если – не нулевое частное решение (1.13), то
– общее решение (1.13).
Теперь построим общее решение для неоднородного уравнения (1.13). Пусть – решение этого уравнения. Тогда
.
Возьмём некоторую функцию и выясним, для каких
она будет решением неоднородного уравнения. Подставим её в (1.13):
Так как
,
то
– соответствующее однородное уравнение, полученное из (1.13) при .
Тогда: (1.16)
Все решения (1.13) содержатся в (1.16). Это общее решение неоднородного уравнения, где - общее решение соответствующего однородного уравнения.
Построим общее решение уравнения (1.13) методом вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Запишем решение (1.13) в том же виде, что и соответствующего однородного уравнения:
(1.17)
Заметим, что здесь – не константа, а функция независимой переменной, причём такая, что (1.17) становится решением исходной задачи (1.13). Конкретный вид
пока не известен.
Раз это решение, то подставим его в исходное уравнение (1.13):
Тогда:
Подставим полученное выражение для в (1.17):
(1.18)
Первое слагаемое – , т.е. общее решение соответствующего однородного уравнения; второе –
, частное решение заданного неоднородного уравнения (1.13), а полностью в формуле (1.18) записано общее решение неоднородного уравнения (1.13).
Заменив в (1.18) неопределённые интегралы на определённые, с переменным верхним пределом (для и
), получим общее решение уравнения (1.13) в форме Коши (т.е. решение задачи с заданными начальными условиями):
(1.19)
Пример 1. Найдем решение неоднородного уравнения
.
Для этого уравнения имеем:
.
Подставим полученное решение в исходное уравнение:
,
Тогда общее решение будет
.
Пример 2. Найдем решение уравнения .
Приведем уравнение к виду
.
Следовательно, Подставив
и
в общее решение (1.18), получим
При решении этого типа уравнений часто используют метод подстановки, который мало чем отличается от метода Лагранжа. Запишем применение этого метода в общем виде.
Идея метода заключается в том, что решение неоднородного уравнения ищется в виде произведения двух функций:
Раз решение, можно подставить его в исходное уравнение (1.13).
Или:
Одну из неизвестных функций можно выбрать произвольно. Обычно это причём её рассматривают как решение дифференциального уравнения (выражение в скобках в последней формуле):
Нетрудно догадаться, что мы получили соответствующее однородное уравнение, и его решение будет:
Тогда, учитывая, что выражение в скобках =0, получим решение для U(x):
И общее решение исходного неоднородного уравнения будет (как и в методе Лагранжа):
В заключение этого параграфа заметим, что в общем представлении уравнений, разрешимых по отношению к производной , для линейных неоднородных уравнений правая часть запишется в следующем виде:
.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 334 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!