Уравнения в полных дифференциалах. К этому типу уравнений приводятся другие виды уравнений и, кроме этого, изучение уравнений в полных дифференциалах необходимо для понимания важных вопросов в

К этому типу уравнений приводятся другие виды уравнений и, кроме этого, изучение уравнений в полных дифференциалах необходимо для понимания важных вопросов в теории дифференциальных уравнений.

Уравнениями в полных дифференциалах называются уравнения вида:

(1.20)

(1.21)

левая часть которых есть полный дифференциал некоторой функции , при этом и непрерывны по и в некоторой односвязной области (без “дырок”) и ни в одной точке этой области не обращаются в нуль одновременно, т.к. для общего вида изучаемых уравнений в случае одновременного равенства этих функций нулю, производная в этой точке не определена:

.

Если полный дифференциал , тогда – общий интеграл ( константа). Заметим, что полным дифференциалом функции двух переменных будет выражение

где при вычислении частных производных , по соответствующим переменным, вторая рассматривается как параметр или константа.

Пример 1. Вычислив интегралы по соответствующим переменным, получим общее решение:

Пример 2. Проведём преобразование и исходное уравнение заменим суммой дифференциалов от соответствующих переменных:

Воспользуемся одним из свойств дифференциалов, а именно: сумма дифференциалов равна дифференциалу суммы:

Тогда

– общий интеграл.

Как узнать, что слева в уравнении полный дифференциал? Как построить общий интеграл?