Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
К этому типу уравнений приводятся другие виды уравнений и, кроме этого, изучение уравнений в полных дифференциалах необходимо для понимания важных вопросов в теории дифференциальных уравнений.
Уравнениями в полных дифференциалах называются уравнения вида:
(1.20)
(1.21)
левая часть которых есть полный дифференциал некоторой функции , при этом и непрерывны по и в некоторой односвязной области (без “дырок”) и ни в одной точке этой области не обращаются в нуль одновременно, т.к. для общего вида изучаемых уравнений в случае одновременного равенства этих функций нулю, производная в этой точке не определена:
.
Если полный дифференциал , тогда – общий интеграл ( константа). Заметим, что полным дифференциалом функции двух переменных будет выражение
где при вычислении частных производных , по соответствующим переменным, вторая рассматривается как параметр или константа.
Пример 1. Вычислив интегралы по соответствующим переменным, получим общее решение:
Пример 2. Проведём преобразование и исходное уравнение заменим суммой дифференциалов от соответствующих переменных:
Воспользуемся одним из свойств дифференциалов, а именно: сумма дифференциалов равна дифференциалу суммы:
Тогда
– общий интеграл.
Как узнать, что слева в уравнении полный дифференциал? Как построить общий интеграл?
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 270 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!