Особые решения

При делении на мы можем потерять решения, определяемые уравнениями и .

Если - корень , то при для всех имеем тождество

То есть _{­­­­­­­}– решение исходного уравнения, т. к. полностью отвечает этому определению ( непрерывна для всех заданных и обращает в тождество исходное уравнение, т. к. и – дифференциал константы). Если эти решения не получаются из (1.12) при частных числовых , то это особые решения. (Аналогично при ). Из решения исключаем точку , т.к. при и одновременно в (1.11) не определён наклон поля в точке . Других особых решений нет.

Пример. Дано дифференциальное уравнение

Выделить интегральную кривую, проходящую через точку (0,1), и найти особые решения.

Преобразуем исходное уравнение и проинтегрируем его:

.

Подставим в общее решение и и получим решение в форме Коши (рис. 4):

Особые решения.

– исключаем ;

– исключаем .

Рис. 4. Графики особых решений и задачи Коши

1-задача Коши; 2-5 особые решения