Метод минимальных путей и сечений надежность

Метод приближенный и используется для расчета надежности систем, имеющих монотонные структурные функции, которые характеризуются следующими свойствами:

1. j(0,...,0)=0.

2. j(1,...,1)=1.

3. j(x_i)³j(y_i), x_i³y_i, i=1,..,n.

Введем определения пути и сечения.

Путь - совокупность элементов, нормальное функционирование которых обеспечивает нормальное функционирование системы.

Сечение - совокупность элементов, нормальное функционирование хотя бы одного из которых обеспечивает нормальное функционирование системы.

Минимальный путь - это минимальное множество элементов, которые обеспечивают функционирование системы, т.е. в пути элементы связаны последовательно.

Минимальное сечение - минимальное множество элементов, отказ которых приводит к отказу всей системы, т.е. в сечении элементы связаны параллельно.

Каждому минимальному пути можно поставить в соответствие структурную функцию вида:

если являются работоспособными элементы, входящие в подмножество Aij;   если хотя бы один элемент подмножества Aj отказал.

, j=1,..,r.

Каждому минимальному сечению можно поставить в соответствие структурную функцию вида:

Если хотя бы один элемент подмножества Bk находится в работоспособном состоянии; Если все элементы подмножества Bk откажут.

Показано, что верхней оценкой надежности исходной системы является надежность структуры, представляющей собой параллельное соединение всех минимальных путей исходной системы, а нижней оценкой надежности исходной структуры является надежность структуры, представляющей собой последовательное соединение минимальных сечений, т.е.

Рассмотрим в качестве примера расчет надежности для системы мостикового типа (рис.14)

Рис.14. Логическая схема надежности системы мостикового типа.

Выделим следующие пути и сечения в исходной логической схеме надежности системы (см. табл.7).

Табл.7

Структурная функция	Надежность
Пути	сечения	путей	Сечений
a1(х)=х1х3 a2(х)=х4х5 a3(х)=х4х2х3   a4(х)=х1х2х5	b1(х)=1-(1-х1)(1-х4) b2(х)=1-(1-х3)(1-х5) b3(х)=1-(1-х1)(1-х2)(1-х5) b4(х)=1-(1-х4)(1-х2)(1-х3)	Рa1(t)=P1P3 Pa2(t)=P4P5 Pa3(t)=P4P2P3   Pa4(t)=P1P2P5.	Pb1(t)=1-(1-P1)(1-P4) Pb2 (t)=1-(1-P3)(1-P5) Pb3(t)=1-(1-P1)(1-P2)(1-P5) Pb4(t)=1-(1-P4)(1-P2)(1-P3)

Надежность системы мостикового типа оценивается как

На рис.15 показаны логические схемы надежности, по которым соответственно

определяется нижняя -а) и верхняя – б) оценка надежности системы мостикового типа.

а)

б)

Рис.15. Логическая схема надежности для определения нижней -а) и верхней – б) оценки надежности системы мостикового типа.