Метод дифференциальных уравнений

Этот метод используется для расчета надежности как восстанавливаемых, так и невосстанавливаемых систем. Закон распределения вероятности безотказной работы элементов системы должен быть только экспоненциальным.

P(t)=e^-lt или P_обсл(t)=e^-μt .

Пусть система состоит из n-однотипных элементов, из которых z-основных и x-резервных элементов (n=z+x). При выходе из строя основного элемента на его место ставится резервный элемент. Система прекращает функционирование, когда число отказавших элементов будет х+1.

Состояния в системе будем различать по числу отказавших элементов. Интенсивность отказа основных элементов равна l. Интенсивность отказа резервных элементов al, где a - коэффициент, учитывающий нагрузку резервных элементов по сравнению с нагрузкой основных элементов. Если a=0, то резервные элементы не нагружены и в режиме ожидания не отказывают, если a=1, то резервные элементы выдерживают такую же нагрузку как и основные элементы.

Составим систему дифференциальных уравнений для описанной системы. Каждое уравнение определяет вероятность нахождения системы в одном из выделенных состояний.

Система может находиться в одном из (x+1) состояний, которые различаются по числу отказавших элементов

{E₀,E₁,.., E_i ,...,E_x+1}.

Состояние Е_х+1 является поглощающим.

Вероятность нахождения системы в момент времени (t+_Dt) в состоянии Е₀ определяется как

Р₀ (t+∆t) = Р₀ (t)(1-(zα∆t+ хαλ∆t))+о(∆t),

где о(_Dt)- ошибка, возникающая из-за расчета вероятности состояний по формуле Р(_Dt)≈ λ∆t.

При составлении данного уравнения используются теоремы сложения и умножения вероятностей событий.

Система в момент времени (t+_Dt) будет находиться в состоянии Е₀ , если в момент времени t она была в этом состоянии с вероятностью Р₀ (t) и не изменила его в течение последующего интервала времени _Dt с вероятностью (1-(zα∆t+ хαλ∆t)) (последнее выражение определяет вероятность того, что ни один из элементов в системе не откажет на интервале времени _Dt).

Аналогично составляются еще Х уравнений. Полученная система уравнений (2.9) дополняется уравнением нормировки вероятностей.

(2.9)

Для получения системы дифференциальных уравнений необходимо каждое уравнение системы преобразовать к виду (покажем это преобразование для первого уравнения):

(2.10).

Затем нужно взять предел по Dt®0 от левой и правой частей уравнения. Первое уравнение примет вид (2.11):

(2.11).

Окончательно система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами будет иметь вид:

Данная система дифференциальных уравнений решается при следующих начальных условиях:

Для решения полученной системы дифференциальных уравнений используется преобразование Лапласа.

В общем виде решение системы имеет вид (2.12):

(2.12), где

.

Надежность системы определяется как

.

Если a=1, то надежность системы определяется суммой членов биномиального распределения.

Если a=0, то надежность системы оценивается пуассоновским распределением.

Можно определить среднюю наработку на отказ системы, не переходя во временную область.

Поскольку

P_c (S)= (2.13),

то средняя наработка на отказ определяется как

T= P_c (S)|_S=0= (2.14).