Матрицы и действия над ними. Матрицей размером m x n называется прямоугольная таблица элементов , состоящая из m строк и n столбцов

Матрицей размером m x n называется прямоугольная таблица элементов , состоящая из m строк и n столбцов.

Элемент расположен в i -й строке и j -м столбце. Элементами матрицы являются числа.

Пример матрицы:

Две матрицы А и В считаются равными, если они одинакового размера и числа, стоящие в А и В на одинаковых местах, равны между собой: .

Если , то А — квадратная матрица, при этом число n называют ее порядком. Квадратная матрица, все элементы которой — нули, называется нулевой матрицей соответствующего размера:

Элементы квадратной матрицы называются диагональными; эти элементы расположены на главной диагонали матрицы.

Квадратная матрица, у которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны 0, называется диагональной.

Если в диагональной матрице все элементы , то матрица называется единичной и обозначается Е:

Матрицы одинакового размера можно складывать, при этом складываются их соответствующие элементы.

Например:

Матрицы произвольного размера можно умножать на число, при этом каждый элемент матрицы умножается на это число.

Например:

Введем следующие обозначения: ; знак суммирования, верхний и нижний пределы (n и 1) показывают границы, в которых изменяется индекс i.

Очевидно, что: .

Для того, чтобы умножить матрицу А на матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов А равнялось числу строк матрицы В. В этом случае произведением является матрица , элементы которой есть сумма произведений элементов i -й строки матрицы А на элементы j -го столбца матрицы В, т. е.:

.

Например: ; ;

Заметим, что .

Для матрицы транспонированной матрицей является:

.

Например: , .