Пример 1. Отрезок АВ пересекает плоскость

Отрезок АВ пересекает плоскость. Найти расстояние от середины отрезка до плоскости, если расстояния от точек А и В до плоскости 6 см и 10 см.

Решение.
Пусть отрезок пересекает плоскость в точке D, середину отрезка обозначим как M. Перпендикуляр отрезка, опущенный на плоскость (и определяющий расстояние от середины отрезка до плоскости) пусть касается плоскости в точке M1. Точки A и B проецируются на плоскость соответственно в точках A1 и B1.
Достроим отрезок AB до треугольника ABK, где точка К лежит на плоскости, параллельной исходной.

Найдем длину отрезка MM1, который и будет расстоянием от середины отрезка AB до плоскости.
Учтем что MM1 = MC - M1C

Для треугольника ВАВ1 по теореме Фалеса, МС будет средней линией треугольника. То есть
МС = ВВ1 / 2.

Для треугольника АА1В1 отрезок М1С также является средней линией.
Откуда
М1С = АА1/2

Так как ММ1 = МС – М1С

MM1 = (BB1 − AA1) / 2

Если AA1 ≥ BB1, путем аналогичных рассуждений получим
MM1 = (AA1 − BB1) / 2

То есть для общего случая
MM1 = | BB1 − AA1 | / 2

Подставим значения:
MM1 = | 10 − 6 | / 2 = 2

Ответ: 2 см.