Практическая работа № 20

Цель урока:

1) Обобщить теоретические знания по теме: «Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости».

2) Рассмотреть алгоритмы решений заданий теме «Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости», решить задачи.

3) Формировать умения прогнозировать собственную деятельность, умение организовать свою деятельность и анализировать ее.

Теоретический материал

Определение Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Теорема 1 ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Теорема 2 1-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Теорема 3 2-ое СВОЙСТВО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.
Пример 1: Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести перпендикулярную ей прямую.
Решение: пусть а - прямая и А - точка на ней. Возьмем любую точку Х вне прямой а и проведем через эту точку и прямую а плоскость . В плоскости через точку А можно провести прямую b, перпендикулярную а.
Пример 2: Докажите, что через любую точку А можно прoвести прямую, перпендикулярную данной плоскости .
Решение: Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые с и b. Через точку их пересечения проведем плоскости и перпендикулярные прямым b и ссоответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а. Прямая а перпендикулярна прямым bи с, значит и плоскости . Проведем теперь через точку А прямую d, параллельную а. По теореме 2 она перпендикулярна плоскости .
Пример 3: Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
Решение: Пусть а - данная прямая и - данная плоскость. Возьмем на прямой а две произвольные точки Х и Y. Их расстояния до плоскости - это длины перпендикуляров ХХ1и YY1, опущенных на эту плоскость. По теореме 3 прямые ХХ1 и YY1 параллельны, следовательно, лежат в одной плоскости. Эта плоскость пересекает плоскость по прямойХ1Y1.Прямая а параллельна прямой Х1Y1, так как не пересекает содержащую её плоскость . Итак у четырехугольника ХХ1YY1противолежащие стороны параллельны. Следовательно, он параллелограмм, а значитХХ1=YY1. Задачи для самостоятельного решения
Задача №1: плоскости равностороннего треугольника АВС и квадратаВСDE перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до стороны DE, если АВ.
Задача №2: 1.Диагональ ВD ромба АВСD перпендикулярна к плоскости α. Как расположена по отношению к этой плоскости другая её диагональ?
Задача №3: Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5 м, а другого - 8 м. Найдите длину перекладины.

Список литературы

1. Геометрия, 10-11: Учеб. для общеобразовательных учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.-Москва: Просвещение, 2009 год

2.Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии для 10 класса.- 4-е издание, испр. и доп.- М.:Илекса, 2007,- 175 с.

3.Геометрия. 10-11 классы: тесты для текущего и обобщающего контроля/авт.сост.Г.И.Ковалёва, Н.И.Мазурова.- Волгоград: Учитель, 2009, 187 стр.

4.Виртуальная школа Кирилла и Мефодия. Репетитор по математике. Москва. 2007 год

5. Учебное электронное издание. Математика 5- 11 класссы. Практикум. Под редакцией Дубровского В.Н., 2004.