Пример 1. Решение Пусть А, В, С – точки касания сторон треугольника с окружностью, О – центр окружности и S – точка на перпендикуляре (рис.8)

SА есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина – расстояние от точки S до стороны треугольника.

По теореме Пифагора , где r – радиус вписан-ной окружности. Аналогично находим , т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.

Задача 6. К плоскости треугольника из центра вписанной в него окружности радиуса 0,7 м восстановлен перпендикуляр длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого перпендикуляра до сторон треугольника.

Решение.

Пусть в треугольник вписана окружность r = OA = OB = OC (рис. 9).

Точки А, В, С – точки касания сторон треугольника с окружностью, О – центр окружности, SO – перпендикуляр.

ОА перпендикулярен стороне треугольника. По теореме о трех перпендикулярах SA ^ MN. Искомое расстояние SA = SB = SC.

Применим теорему Пифагора к D AOS: . По условию r = 0,7 м, SO = 2,4 м; SA = (м).

Ответ: SA = 2,5 м.

Пример 2. Расстояние от данной точки до плоскости треугольника равно 1,1 м, а до каждой из сторон – 6,1 м. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение.

Пусть S – данная точка. SO = 1,1 м, расстояние от данной точки до плоскости треугольника. SB, SC, SA – наклонные; перпендикуляры к сторонам треугольника АО=ВО=СО – проекции равных наклонных (рис.10). По теореме о трех перпендикулярах АО, ВО, СО перпендикулярны сторонам треугольника. Следовательно, точка S проектируется в центр вписанной в треугольник окружности. Применим теорему Пифагора для треугольника SOВ: (м).

Ответ: OВ = 6 м.