Пример 1. Даны две параллельные плоскости 1 и 2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей

Даны две параллельные плоскости ₁ и ₂ и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точку А проведена произвольная прямая. Пусть X₁ и X₂ — точки пересечения ее с плоскостями ₁ и ₂. Докажите, что отношение длин отрезков AX₁: AX₂ не зависит от взятой прямой.

Решение. Проведем через точку А другую прямую и обозначим через Y₁ и У₂ точки пересечения ее с плоскостями ₁ и ₂ (рис. 334). Проведем через прямые AX₁ и AY₁ плоскость. Она пересечет плоскости ₁и ₂ по параллельным прямым X₁Y₁и X₂Y₂. Отсюда следует подобие треугольников

AX₁Y₁ и AX₂Y₂. А из подобия треугольников следует пропорция

Т. е. отношения AX₁:AX₂ и AY₁: АY₂ одинаковы для обеих прямых.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Действительно, пусть ₁ и ₂ — параллельные плоскости.

a и b — пересекающие их параллельные прямые, А₁,А₂ и В₁, В₂ — точки пересечения прямых с плоскостями (рис. 335). Проведем через прямые a и b плоскость. Она пересекает плоскости ₁ и ₂ по параллельным прямым А₁В₁и А₂В₂. Четырехугольник А₁В₁B₂A₂. -параллелограмм, так как у него противолежащие стороны параллельны. А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Значит, А₁А₂ = В₁В₂, что и требовалось доказать.