Теорема Чебышева

Теорема (Чебышева).Приведенный многочлен Чебышева степени есть наименее отклоняющийся он нуля на своем отрезке ортогональности по сравнению с любым другим приведенным многочленом той же степени.

Доказательство:

Доказательство проводится методом от противного. Пусть - приведенный многочлен Чебышева степени на отрезке . Предположим, что есть другой приведенный многочлен той же степени, но максимальное отклонение которого от оси абсцисс меньше - . Сформируем новый многочлен как разность этих двух многочленов: . Очевидно, что это будет многочлен степени не выше, чем . Рассмотрим его поведение между двумя соседними экстремумами многочлена , которые по оси абсцисс обозначим как . Как было показано выше, эти экстремумы разного знака и по абсолютной величине равны значению (15). Пусть , а . Тогда, в силу предположения, что многочлен лежит в более узкой полосе в области своего изменения, многочлен должен изменять знак между рассматриваемыми экстремумами: , . Следовательно, многочлен на этом участке, так же как и многочлен , имеет корень. То есть число корней совпадает с числом корней на всем отрезке и равно . Это противоречит тому, что многочлен имеет степень не выше, чем и должен иметь не более, чем корень в комплексной плоскости.

Предположение неверно. Теорема доказана.

Следствие 1.Многочлен Чебышева степени (14) на своем отрезке ортогональности есть наименее отклоняющийся он нуля на этом отрезке по сравнению с любым другим многочленом с коэффициентом при старшей степени и его максимальное отклонение от нуля равно .

Действительно, разделив многочлены на коэффициент , получим приведенные многочлены, для которых теорема доказана.

Следствие 2.Многочлен -ой степени с заданным старшим коэффициентом является многочленом наименее отклоняющимся от нуля на отрезке , если это нормированный на коэффициент многочлен Чебышева и его отрезок ортогональности.

Действительно, из (14)

Лемма 1.Многочлен -ой степени с заданным значением , является многочленом наименее отклоняющимся от нуля на отрезке , если это нормированный на коэффициент многочлен Чебышева и есть его отрезок ортогональности.

Действительно, для нормированного на коэффициент многочлена Чебышева -ой степени

,

выполняется и его отрезок ортогональности. Норма этого многочлена есть , а старший коэффициент .

Покажем, что любой другой многочлен -ой степени с заданным значением , отклоняется от нуля более, чем . Действительно, допустим противное, следуя логике доказательства теоремы Чебышева. Рассмотрим многочлен . В данном случае это многочлен степени не выше, чем и имеет на отрезке корней в силу свойств корней и экстремумов многочлена Чебышева и предположения. Кроме того, еще один корень существует вне этого отрезка . Следовательно, всего этот многочлен имеет, по крайней мере, корень, что противоречит тому, что его степень не выше, чем . Лемма доказана.

С наименьшим отклонением от нуля значений модуля непрерывной функции на отрезке связано понятие Чебышевской нормы

Чебышевская норма для обычных и приведённых многочленов Чебышева на различных отрезках ортогональности:

Следующие две леммы используются для задач минимизации погрешности различных методов, связанными с корнями многочленов Чебышева.

Лемма 2. Пусть

(16)

-приведенный многочлен степени , зависимый от параметров . Тогда, многочлен (16) будет иметь минимальную Чебышевскую норму на отрезке , если это приведенный многочлен Чебышева и – его отрезок ортогональности, то есть, если набор параметров – это корни многочлена Чебышева на этом отрезке: . При этом значение минимальной нормы есть

(17)

Обратим внимание, что корни могут быть взяты в произвольном порядке, а не только в порядке заданном формулой (9). Действительно, согласно теоремы, многочлен (16) будет наименее отклоняющимся от нуля, если это приведенный многочлен Чебышева, т.е.

Лемма 3. Пусть

(18)

–многочлен степени , зависимый от параметров . Тогда, многочлен (18) будет иметь минимальную Чебышевскую норму на отрезке , если это нормированный многочлен Чебышева таким образом, что , - его отрезок ортогональности и (пусть для определенности ). То есть, если набор параметров - это набор корней многочлена Чебышева на этом отрезке. При этом значение минимальной нормы есть

(19)

Действительно, из (18) следует, что и, учитывая следствие 3 теоремы,

Таким образом, коэффициент нормировки равен , а значение нормы есть модуль этой величины .

Обозначим

.

Таким образом, учитывая вторую формульную формулировку многочлена Чебышева, удобную для использования при

Далее

Обозначив , получим . Лемма доказана.

2.2.9. Многочлены Чебышева 2 рода

Многочлены Чебышева 2 рода получаются в результате ортогонализации исходной системы многочленов на отрезке с весом .

Имеем

Однако с целью нормировки полагаем для начального многочлена

Далее, , , , так как подынтегральная функция нечетна. Итого, , но с целью нормировки

Аналогично,