Теорема

1. Все корней многочлена Чебышева (5) локализованы на вещественном отрезке (–1,1) и они равны

(9)

2. Корни (9) чередуются на отрезке с –м значением многочлена , которые также чередуются с разными знаками и их абсциссы равны

(10)

Из этих значений являются локальными экстремумами и два – значениями на границах отрезка . Других локальных экстремумов многочлена на области определения нет.

Доказательство.

Для поиска корней и экстремумов многочлена Чебышева используем формульное представление (6). Для корней получаем уравнение

Однако вещественные значения функции находятся на интервале , и поэтому следует выбрать те значения целочисленной переменной , которые этому соответствуют: . Далее, , и, изменив нумерацию, получаем значения корней (9). По основной теореме алгебры у многочлена -й степени в комплексной плоскости ровно корней.

Для экстремумов получаем

Выбирая значения , которые соответствуют вещественным значениям функции , получаем экстремум с абсциссами (10) на отрезке , из них 2 экстремума на концах интервала. Важно, что соседние экстремумы имеют разные знаки, и поэтому происходит чередование корней и экстремумов. Исследуя функцию (7), получаем, что при функция монотонна и . Таким образом, экстремумов больше нет. Ч.т.д.

Рис.10. Поведение многочленов Чебышева 1 рода на отрезке ортогональности и вне его

Для иллюстрации на рис. 10 представлено графическое поведение нескольких первых многочленов Чебышева 1 рода

; ; ;

;

Из вида рекуррентного соотношения (5) с помощью метода математической индукции можно доказать, что коэффициент при старшей степени в многочлене есть . Таким образом, приведенный многочлен Чебышева, у которого старший коэффициент равен , есть

Здесь - корни (9) многочлена.

Рис.11. Поведение приведенных многочленов Чебышева 1 рода на отрезке ортогональности и вне его

На рис. 11 представлено графическое поведение нескольких первых приведенных многочленов Чебышева 1 рода :

; ; ;

; ;