Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Все корней многочлена Чебышева (5) локализованы на вещественном отрезке (–1,1) и они равны
(9)
2. Корни (9) чередуются на отрезке с –м значением многочлена , которые также чередуются с разными знаками и их абсциссы равны
(10)
Из этих значений являются локальными экстремумами и два – значениями на границах отрезка . Других локальных экстремумов многочлена на области определения нет.
Доказательство.
Для поиска корней и экстремумов многочлена Чебышева используем формульное представление (6). Для корней получаем уравнение
Однако вещественные значения функции находятся на интервале , и поэтому следует выбрать те значения целочисленной переменной , которые этому соответствуют: . Далее, , и, изменив нумерацию, получаем значения корней (9). По основной теореме алгебры у многочлена -й степени в комплексной плоскости ровно корней.
Для экстремумов получаем
Выбирая значения , которые соответствуют вещественным значениям функции , получаем экстремум с абсциссами (10) на отрезке , из них 2 экстремума на концах интервала. Важно, что соседние экстремумы имеют разные знаки, и поэтому происходит чередование корней и экстремумов. Исследуя функцию (7), получаем, что при функция монотонна и . Таким образом, экстремумов больше нет. Ч.т.д.
Рис.10. Поведение многочленов Чебышева 1 рода на отрезке ортогональности и вне его
Для иллюстрации на рис. 10 представлено графическое поведение нескольких первых многочленов Чебышева 1 рода
; ; ;
;
Из вида рекуррентного соотношения (5) с помощью метода математической индукции можно доказать, что коэффициент при старшей степени в многочлене есть . Таким образом, приведенный многочлен Чебышева, у которого старший коэффициент равен , есть
Здесь - корни (9) многочлена.
Рис.11. Поведение приведенных многочленов Чебышева 1 рода на отрезке ортогональности и вне его
На рис. 11 представлено графическое поведение нескольких первых приведенных многочленов Чебышева 1 рода :
; ; ;
; ;
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 568 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!