Матрица СЛАУ с вещественным спектром на одном отрезке

Рассмотрим СЛАУ (1) с нормальной невырожденной матрицей , спектральное множество которой локализовано на положительном (отрицательном) вещественном отрезке. Пусть для определенности , , причем , . Применим для решения СЛАУ явный нестационарный метод простой итерации (2), (3) из раздела 2.1. Для матрицы перехода спектральный отрезок есть , где , и . Для спектра результирующей матрицы перехода от начального приближения к вектору решения на -ой итерации имеем формулу (4). Рассмотрим интерполянт этого дискретного спектра как непрерывную функцию независимой переменной

(1)

Многочлен такой, что . Для спектрального радиуса матрицы очевидно справедливо

Согласно Лемме 3 многочлен -ой степени имеет минимальную норму (19), если - чебышевский набор параметров

(2)

Ошибка после -го шага явного нестационарного процесса простой итерации (2), (3) из раздела 2.1 с чебышевским набором параметров (МЧП) (2) связана с ошибкой нулевого приближения следующим неравенством

, где (3)

При этом средний асимптотический знаменатель одной итерации данного процесса (при )

(4)

оказывается меньше или много меньше, чем знаменатель сходимости явного метода стационарной оптимальной простой итерации Ричардсона (МОПИ) , .

Найдем число итераций необходимых в том и другом методе для достижения заданной точности решения , то есть, чтобы . В методе МОПИ

Рассмотрим неблагоприятный случай слабой сходимости . Для него

И, таким образом, в методе МОПИ

(5)

Для МЧП получаем

Решив квадратичное неравенство относительно получаем, учитывая

Таким образом, учитывая, что в данном случае , получаем

(6)

Ясно, что в условиях слабой сходимости МЧП имеет значительное преимущество перед МОПИ, так как .

Рис.13. Подпрограмма нестационарного метода , подпрограмма вычисления коэффициентов Чебышева и два вызова этих п\п с различными значениями параметров отрезка расположения спектра матрицы

На рис.13 представлена подпрограмма нестационарного метода вида (2)-(3) из раздела 2.1, подпрограмма вычисления коэффициентов Чебышева и два вызова этих подпрограмм с различными значениями параметров одного отрезка расположения спектра матрицы. В двух примерах обращения к подпрограмме с Чебышевским набором параметров используется матрица с вещественным () и комплексным () отрезком расположения спектра. Середина отрезков постоянна . Для случая комплексной области расположения спектра за итераций МЧП достигнута невязка решения и она меньше, чем в случае вещественного спектра, что находится в согласии с материалом, изложенным в разделе 2.3.3.

Формальные параметры подпрограмм следующие:

- матрица перехода Ричардсона;

- заданный вектор правой части СЛАУ;

- размерность матрицы и вектора;

- заданное число шагов метода с Чебышевским набором параметров;

- вектор, содержащий значений Чебышевского набора параметров, ;

- значения концов отрезка (вещественные или комплексные), содержащего спектр матрицы .

Другие параметры программ:

- единичная матрица;

- вектор невязки решения.

Для достижения той же точности решения СЛАУ в рассмотренных выше двух случаях МОПИ требуется в 1.5 раза больше итераций: соответственно и итераций. Однако эти примеры находятся в области достаточно быстрой сходимости и преимущество МЧП не столь заметно. Так, если выбрать , то для достижения точности МОПИ понадобится итерации, а МЧП итерации, что находится в полном согласии с (5) и (6).