Формульные определения многочлена Чебышева 1 рода

Функция совпадает с многочленом Чебышева (5) на всей области определения, то есть многочлен Чебышева можно определить с помощью формулы

(6)

Действительно, учитывая формулы и , получим и, кроме того , . Таким образом, функция удовлетворяет тому же рекуррентному соотношению и тем же начальным условиям (5), а значит, тождественно совпадает с многочленами (5).

Представление (6) более естественно на отрезке , на котором функция вещественна.

Теорема. Многочлены Чебышева (5) определены на всей числовой оси и ортогональны на отрезке в смысле скалярного произведения

с весом , а именно,

(7)

При этом норма многочлена, следующая из скалярного произведения как :

Доказательство.

Так как областью определения начальных многочленов является вся числовая ось и далее они определяются с помощью рекуррентной формулы (5), не имеющей ограничений на числовой оси, то областью определения всех многочленов Чебышева является .

Рассмотрим скалярное произведение

Сделаем замену переменной , .

Учитывая, что , получаем (7).

Еще одно формульное представление многочлена Чебышева, которое более естественно вне отрезка , так как здесь все его составляющие вещественны, однако оно справедливо на всей оси

(8)

Действительно, обозначим , тогда . Получаем

Таким образом, вновь приходим к рекуррентному соотношению (5) с теми же начальными условиями, следовательно (8) - также представление многочленов Чебышева.

Для того, чтобы получить формульное представление (8), попробуем разрешить рекуррентное соотношение (5) как уравнение относительно неизвестной степенной функции .

Составив линейную комбинацию решений с неизвестными коэффициентами, с учетом начальных условий получим (8).