Ортогонализация линейно-независимых элементов Гильбертова пространства

Пусть - Гильбертово пространство комплекснозначных функций на интервале с ограниченным интегралом и со скалярным произведением

(1)

Почти всюду на и .

Теорема. Пусть в пространстве задана система линейно-независимых элементов . Тогда с помощью процесса ортогонализации Грамма-Шмидта может быть построена система ортогональных линейно-независимых элементов вида

(2)

Действительно,

Из условия ортогональности получаем

Нормированное значение определяется из условия

Далее,

и, аналогично, из условий получаем

Методом математической индукции доказывается (2), где

(3)

Ортогональные многочлены получаются в процессе (2)-(3) с различными весами при исходной системе неортогональных многочленов с фиксированным значением

В матричной записи имеем СЛАУ относительно вектора

(4)

где матрица - неособенная матрица с вида

Решение (4) существует и единственно .